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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，i3(i+1)i−1=\frac{\mathrm{i}^{3}(\mathrm{i}+1)}{\mathrm{i}-1}=（\quad）
A.
−1-1
B.
11
C.
−i-\mathrm{i}
D.
i\mathrm{i}

2008 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾0,x+y⩽1,x+2y⩾1,\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant 1,\\ x + 2y \geqslant 1, \end{cases}
则目标函数 z=5x+yz = 5x + y 的最大值为（\quad）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2008 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=sin⁡(2x−π2)f(x) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}，则 f(x)f(x) 是（\quad）
A.
最小正周期为 π\pi 的奇函数
B.
最小正周期为 π\pi 的偶函数
C.
最小正周期为 π2\frac{\pi}{2} 的奇函数
D.
最小正周期为 π2\frac{\pi}{2} 的偶函数

2008 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
设 aa，bb 是两条直线，α\alpha，β\beta 是两个平面，则 a⊥ba \perp b 的一个充分条件是（\quad）
A.
a⊥αa \perp \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta
B.
a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
C.
a⊂αa \subset \alpha，b⊥βb \perp \beta，α∥β\alpha \parallel \beta
D.
a⊂αa \subset \alpha，b∥βb \parallel \beta，α⊥β\alpha \perp \beta

2008 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
设椭圆 x2m2+y2m2−1=1\frac{x^2}{m^2} + \frac{y^2}{m^2 - 1} = 1（m>1m > 1）上一点 PP 到其左焦点的距离为 33，到右焦点的距离为 11，则 PP 点到右准线的距离为（\quad）
A.
66
B.
22
C.
12\frac{1}{2}
D.
277\frac{2\sqrt{7}}{7}

2008 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
设集合 S={x∣∣x−2∣>3}S = \{x \mid |x - 2| > 3\}，T={x∣a<x<a+8}T = \{x \mid a < x < a + 8\}，S∪T=RS \cup T = \mathbf{R}，则 aa 的取值范围是（\quad）
A.
−3<a<−1-3 < a < -1
B.
−3⩽a⩽−1-3 \leqslant a \leqslant -1
C.
a⩽−3a \leqslant -3 或 a⩾−1a \geqslant -1
D.
a<−3a < -3 或 a>−1a > -1

2008 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=11−xf(x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x}}（0⩽x<10 \leqslant x < 1）的反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，则（\quad）
A.
f−1(x)f^{-1}(x) 在其定义域上是增函数且最大值为11
B.
f−1(x)f^{-1}(x) 在其定义域上是减函数且最小值为00
C.
f−1(x)f^{-1}(x) 在其定义域上是减函数且最大值为11
D.
f−1(x)f^{-1}(x) 在其定义域上是增函数且最小值为00

2008 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={−x+1,x<0,x−1,x⩾0,f(x) = \begin{cases} -x + 1, & x < 0,\\ x - 1, & x \geqslant 0, \end{cases}
则不等式 x+(x+1)f(x+1)⩽1x + (x + 1)f(x + 1) \leqslant 1 的解集是（\quad）
A.
{x∣−1⩽x⩽2−1}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant \sqrt{2} -1\}
B.
{x∣x⩽1}\{x\mid x\leqslant 1\}
C.
{x∣x⩽2−1}\{x\mid x\leqslant \sqrt{2} -1\}
D.
{x∣−2−1⩽x⩽2−1}\{x\mid -\sqrt{2} -1\leqslant x\leqslant \sqrt{2} -1\}

2008 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的偶函数，且在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 上是增函数. 令 a=f(sin⁡2π7)a = f\left(\sin \frac{2\pi}{7}\right)，b=f(cos⁡5π7)b = f\left(\cos \frac{5\pi}{7}\right)，c=f(tan⁡5π7)c = f\left(\tan \frac{5\pi}{7}\right)，则（\quad）
A.
b<a<cb < a < c
B.
c<b<ac < b < a
C.
b<c<ab < c < a
D.
a<b<ca < b < c

2008 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
有 88 张卡片分别标有数字 11，22，33，44，55，66，77，88，从中取出 66 张卡片排成 33 行 22 列，要求 33 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 55，则不同的排法共有（\quad）
A.
13441344 种
B.
12481248 种
C.
10561056 种
D.
960960 种

2008 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−2x)5\left(x - \frac{2}{\sqrt{x}}\right)^5 的二项展开式中，x2x^2 的系数是______.（用数字作答）

2008 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12立体几何初步★★☆☆☆
一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，则该正方体的表面积为______.

2008 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
已知圆 CC 的圆心与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点关于直线 y=xy = x 对称. 直线 4x−3y−2=04x - 3y - 2 = 0 与圆 CC 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=6|AB| = 6，则圆 CC 的方程为______.

2008 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★☆☆☆
如图，在平行四边形 ABCDABCD 中，AC→=(1,2)\overrightarrow{AC} = (1, 2)，BD→=(−3,2)\overrightarrow{BD} = (-3, 2)，则 AD→⋅AC→=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} =______.

2008 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中， a1=1a_{1}=1， an+1−an=13n+1a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），则 lim⁡n→∞an=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=______.

2008 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★★☆
设 a>1a > 1，若仅有一个常数 cc 使得对于任意的 x∈[a,2a]x \in [a, 2a]，都有 y∈[a,a2]y \in [a, a^2] 满足方程 log⁡ax+log⁡ay=c\log_a x + \log_a y = c，这时，aa 的取值的集合为______.

2008 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知 cos⁡(x−π4)=210\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{10}，x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right).
(1) 求 sin⁡x\sin x 的值； (2) 求 sin⁡(2x+π3)\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) 的值.

2008 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 12\frac{1}{2} 与 pp，且乙投球 22 次均未命中的概率为 116\frac{1}{16}.
(1) 求乙投球的命中率 pp. (2) 若甲投球 11 次，乙投球 22 次，两人共命中的次数记为 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列和数学期望.

2008 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形. 已知 AB=3AB = 3，AD=2AD = 2，PA=2PA = 2，PD=22PD = 2\sqrt{2}，∠PAB=60∘\angle PAB = 60^{\circ}.
(1) 证明 AD⊥AD \perp 平面 PABPAB； (2) 求异面直线 PCPC 与 ADAD 所成角的大小； (3) 求二面角 P−BD−AP - BD - A 的大小.

2008 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x+ax+bf(x) = x + \frac{a}{x} + b（x≠0x \neq 0），其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(2,f(2))P(2, f(2)) 处的切线方程为 y=3x+1y = 3x + 1，求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (3) 若对于任意的 a∈[12,2]a \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]，不等式 f(x)⩽10f(x) \leqslant 10 在 [14,1]\left[\frac{1}{4}, 1\right] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2008 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知中心在原点的双曲线 CC 的一个焦点是 F1(−3,0)F_{1}(-3,0)，一条渐近线的方程是 5x−2y=0\sqrt{5} x - 2y = 0.
(1) 求双曲线 CC 的方程； (2) 若以 kk（k≠0k \neq 0）为斜率的直线 ll 与双曲线 CC 相交于两个不同的点 MM，NN，线段 MNMN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 812\frac{81}{2}，求 kk 的取值范围.

2008 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
在数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 中，a1=1a_{1} = 1，b1=4b_{1} = 4，数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 nSn+1−(n+3)Sn=0nS_{n + 1} - (n + 3)S_{n} = 0，2an+12a_{n + 1} 为 bnb_{n} 与 bn+1b_{n + 1} 的等比中项，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a2a_{2}，b2b_{2} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 中的通项公式； (3) 设 Tn=(−1)a1b1+(−1)a2b2+⋯+(−1)anbnT_{n} = (-1)^{a_{1}}b_{1} + (-1)^{a_{2}}b_{2} + \dots + (-1)^{a_{n}}b_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}；证明 ∣Tn∣<2n2|T_{n}| < 2n^{2}，n⩾3n \geqslant 3.

2008 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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