节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 $4\text{ 秒}$ 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 $4\text{ 秒}$ 为间隔闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 $2\text{ 秒}$ 的概率是（ ）

某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1$，$2$，$3$，$\cdots$，$24$ 这 24 个整数中等可能随机产生.

(1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_{i}$ （$i = 1$，$2$，$3$）； (2) 甲，乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i$ （$i = 1$，$2$，$3$） 的频数. 以下是甲，乙所作频数统计表的部分数据. 当 $n = 2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲，乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i$ （$i = 1$，$2$，$3$） 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；

甲的频数统计表（部分）

乙的频数统计表（部分）

(3) 按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 $y$ 的值为 2 的次数 $\xi$ 的分布列及数学期望.