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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣x+2=0}A = \{x \mid x + 2 = 0\}，集合 B={x∣x2−4=0}B = \{x \mid x^2 - 4 = 0\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{−2}\{-2\}
B.
{2}\{2\}
C.
{−2,2}\{-2,2\}
D.
∅\varnothing

2013 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
如图，在复平面内，点 AA 表示复数 zz 的共轭复数，则图中表示复数 zz 的点是（ ）
A.
AA
B.
BB
C.
CC
D.
DD

2013 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 x∈Zx \in \mathbf{Z}，集合 AA 是奇数集，集合 BB 是偶数集. 若命题 pp：∀x∈A\forall x \in A，2x∈B2x \in B，则（ ）
A.
¬p\neg p：∀x∈A\forall x \in A，2x∉B2x \notin B
B.
¬p\neg p：∀x∉A\forall x \notin A，2x∉B2x \notin B
C.
¬p\neg p：∃x∉A\exists x \notin A，2x∈B2x \in B
D.
¬p\neg p：∃x∈A\exists x \in A，2x∉B2x \notin B

2013 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=2sin⁡(ωx+φ)f(x) = 2\sin\left(\omega x + \varphi\right)（ω>0\omega > 0，−π2<φ<π2-\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2}）的部分图象如图所示，则 ω\omega，φ\varphi 的值分别是（ ）
A.
22，−π3-\frac{\pi}{3}
B.
22，−π6-\frac{\pi}{6}
C.
44，−π6-\frac{\pi}{6}
D.
44，π3\frac{\pi}{3}

2013 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的焦点到双曲线 x2−y23=1x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 的渐近线的距离是（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
11
D.
3\sqrt{3}

2013 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=x33x−1y = \frac{x^3}{3^{x} - 1} 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
从 11，33，55，77，99 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 aa，bb，共可得到 lg⁡a−lg⁡b\lg a - \lg b 的不同值的个数是（ ）
A.
99
B.
1010
C.
1818
D.
2020

2013 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒4\text{ 秒} 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒4\text{ 秒} 为间隔闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒2\text{ 秒} 的概率是（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
34\frac{3}{4}
D.
78\frac{7}{8}

2013 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ex+x−af(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x + x - a} （a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）. 若曲线 y=sin⁡xy = \sin x 上存在 (x0,y0)(x_0, y_0) 使得 f(f(y0))=y0f(f(y_0)) = y_0，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,e][1, \mathrm{e}]
B.
[e−1−1,1][\mathrm{e}^{-1} - 1, 1]
C.
[1,1+e][1, 1 + \mathrm{e}]
D.
[e−1−1,e+1][\mathrm{e}^{-1} - 1, \mathrm{e} + 1]

2013 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
二项式 (x+y)5(x + y)^5 的展开式中，含 x2y3x^2 y^3 的项的系数是______.

2013 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★☆☆☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，对角线 ACAC 与 BDBD 交于点 OO，AB→+AD→=λAO→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AO}，则 λ=\lambda =______.

2013 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
设 sin⁡2α=−sin⁡α\sin 2\alpha = -\sin \alpha，α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，则 tan⁡2α\tan 2\alpha 的值是______.

2013 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★☆☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x，那么，不等式 f(x+2)<5f(x + 2) < 5 的解集是______.

2013 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★★☆
设 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n 为平面 α\alpha 内的 nn 个点，在平面 α\alpha 内的所有点中，若点 PP 到 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n 点的距离之和最小，则称点 PP 为 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n 点的一个“中位点”. 例如，线段 ABAB 上的任意点都是端点 AA，BB 的中位点. 则有下列命题：
① 若三个点 AA，BB，CC 共线，CC 在线段 ABAB 上，则 CC 是 AA，BB，CC 的中位点； ② 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③ 若四个点 AA，BB，CC，DD 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④ 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是______.（写出所有真命题的序号）

2013 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★☆☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1+a3=8a_{1} + a_{3} = 8，且 a4a_{4} 为 a2a_{2} 和 a9a_{9} 的等比中项，求数列 {an}\{a_{n}\} 的首项，公差及前 nn 项和.

2013 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 2cos⁡2A−B2cos⁡B−sin⁡(A−B)sin⁡B+cos⁡(A+C)=−352\cos^2\frac{A - B}{2}\cos B - \sin (A - B)\sin B + \cos (A + C) = -\frac{3}{5}.
(1) 求 cos⁡A\cos A 的值； (2) 若 a=42a = 4\sqrt{2}，b=5b = 5，求向量 BA→\overrightarrow{BA} 在 BC→\overrightarrow{BC} 方向上的投影.

2013 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 xx 在 11，22，33，⋯\cdots，2424 这 24 个整数中等可能随机产生.
(1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出 yy 的值为 ii 的概率 PiP_{i} （i=1i = 1，22，33）； (2) 甲，乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 nn 次后，统计记录了输出 yy 的值为 ii （i=1i = 1，22，33） 的频数. 以下是甲，乙所作频数统计表的部分数据. 当 n=2100n = 2100 时，根据表中的数据，分别写出甲，乙所编程序各自输出 yy 的值为 ii （i=1i = 1，22，33） 的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；
甲的频数统计表（部分）
nn\end{tabular}\begin{tabular}{c}输出 yy 的值为
1 的频数\end{tabular}\begin{tabular}{c}输出 yy 的值为
2 的频数\end{tabular}\begin{tabular}{c}输出 yy 的值为
3 的频数\end{tabular}
乙的频数统计表（部分）
nn\end{tabular}\begin{tabular}{c}输出 yy 的值为
1 的频数\end{tabular}\begin{tabular}{c}输出 yy 的值为
2 的频数\end{tabular}\begin{tabular}{c}输出 yy 的值为
3 的频数\end{tabular}
(3) 按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 yy 的值为 2 的次数 ξ\xi 的分布列及数学期望.

2013 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱 AA1⊥AA_{1} \perp 底面 ABCABC，AB=AC=2AA1AB = AC = 2AA_{1}，∠BAC=120∘\angle BAC = 120^{\circ}，DD，D1D_{1} 分别是线段 BCBC，B1C1B_{1}C_{1} 的中点，PP 是线段 ADAD 的中点.
(1) 在平面 ABCABC 内，试作出过点 PP 与平面 A1BCA_{1}BC 平行的直线 ll，说明理由，并证明直线 l⊥l \perp 平面 ADD1A1ADD_{1}A_{1}； (2) 设（1）中的直线 ll 交 ABAB 于点 MM，交 ACAC 于点 NN，求二面角 A−A1M−NA-A_{1}M-N 的余弦值.

2013 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a>b>0）的两个焦点分别为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，且椭圆 CC 经过点 P(43,13)P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right).
(1) 求椭圆 CC 的离心率； (2) 设过点 A(0,2)A(0,2) 的直线 ll 与椭圆 CC 交于 MM，NN 两点，点 QQ 是线段 MNMN 上的点，且 2∣AQ∣2=1∣AM∣2+1∣AN∣2\frac{2}{|AQ|^2} = \frac{1}{|AM|^2} + \frac{1}{|AN|^2}，求点 QQ 的轨迹方程.

2013 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数
f(x)={x2+2x+a,x<0,ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + a, & x < 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
其中 aa 是实数. 设 A(x1,f(x1))A(x_1, f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2, f(x_2)) 为该函数图象上的两点，且 x1<x2x_1 < x_2.
(1) 指出函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线互相垂直，且 x2<0x_{2} < 0，求 x2−x1x_{2} - x_{1} 的最小值； (3) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 A，B 处的切线重合，求 aa 的取值范围.

2013 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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