设直线 $y = \frac{1}{2}x + b$ 是曲线 $y = \ln x$（$x > 0$）的一条切线，则实数 $b$ 的值为______.

设函数 $f(x) = ax^3 - 3x + 1$（$x \in \mathbf{R}$），若对于任意 $x \in [-1, 1]$，都有 $f(x) \geqslant 0$ 成立，则实数 $a$ 的值为______.

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 $ABCD$ 的两个顶点 $A$，$B$ 及 $CD$ 的中点 $P$ 处，已知 $AB = 20\,\mathrm{km}$，$BC = 10\,\mathrm{km}$. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与 $A$，$B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 $AO$，$BO$，$PO$. 记排污管道的总长度为 $y\,\mathrm{km}$.

(1) 按下列要求写出函数关系式：

(i) 设 $\angle BAO = \theta$（$\mathrm{rad}$），将 $y$ 表示为 $\theta$ 的函数； (ii) 设 $OP = x$（$\mathrm{km}$），将 $y$ 表示为 $x$ 的函数. (2) 请你选用上一小问中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $P(x, y)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ 上的一个动点，求 $S = x + y$ 的最大值.