下列双曲线中，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y = \pm 2x$ 的是（ ）

\begin{solution} 焦点在 $y$ 轴上的双曲线应写成 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$，其渐近线为 $y=\pm\dfrac{a}{b}x$. 选项 C 中 $a=2$，$b=1$，渐近线为 $y=\pm2x$，且焦点在 $y$ 轴上. 选项 D 的渐近线为 $y=\pm\frac12x$，其余两项焦点在 $x$ 轴上. 故选 C. \end{solution}

在极坐标系中，圆 $\rho = 8\sin \theta$ 上的点到直线 $\theta = \frac{\pi}{3}$（$\rho \in \mathbf{R}$）距离的最大值是______.

\begin{solution} 由极坐标关系 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，圆的方程化为 $\rho^2=8\rho\sin\theta$，即 $x^2+y^2=8y$，亦即 所以圆心为 $O_1=(0,4)$，半径为 $4$. 由于 $\rho\in\mathbf{R}$，直线 $\theta=\frac\pi3$ 是过原点的整条直线，其方程为 $y=\sqrt3x$. 圆心到该直线的距离为 圆上点到该直线的最大距离等于圆心到直线的距离加半径，故最大值为 $2+4=6$. \end{solution}

设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），点 $O$ 为坐标原点. 点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $|BM| = 2|MA|$. 直线 $OM$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

(1) 求 $E$ 的离心率 $e$； (2) 设点 $C$ 的坐标为 $(0, -b)$，$N$ 为线段 $AC$ 的中点，点 $N$ 关于直线 $AB$ 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$，求 $E$ 的方程.

\begin{solution} 因为 $|BM|=2|MA|$，所以 $M$ 将 $AB$ 按 $2:1$ 分点，从而 由直线 $OM$ 的斜率， $\frac{\frac{b}{3}}{2\frac{a}{3}}=\frac b{2a}=\frac{\sqrt5}{10}$，$a^2=5b^2$.

\begin{enumerate} \item 椭圆的离心率为

\item 点 $N$ 为 $AC$ 的中点，所以 $N=(\frac a2,-\frac b2)$. 直线 $AB$ 的方程为 设 $N'$ 是 $N$ 关于 $AB$ 的对称点. 对直线 $Ax+By+C=0$，点 $(x_0,y_0)$ 的对称点纵坐标为 $y_0-\frac{2B(Ax_0+By_0+C)}{A^2+B^2}$. 在本题中，代入 $A=b$，$B=a$，$C=-ab$ 及 $N$，有 因此 利用 $a^2=5b^2$，得 由题设 $\frac{7b}{6}=\frac72$，所以 $b=3$，$a=3\sqrt5$. 故椭圆方程为 \end{enumerate} \end{solution}