下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

\begin{solution} $y=\cos x$ 满足 $\cos(-x)=\cos x$，是偶函数，且当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时有 $\cos x=0$，所以存在零点. $y=\sin x$ 是奇函数；$y=\ln x$ 的定义域不是关于原点对称的集合，不能成为偶函数；$y=x^2+1$ 虽是偶函数，但始终大于 $0$，没有零点. 因此选 A. \end{solution}

函数 $f(x) = \frac{ax + b}{(x + c)^2}$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

\begin{solution} 由图象的竖直渐近线在 $y$ 轴右侧，且渐近线为 $x=-c$，可知 $-c>0$，所以 $c<0$. 图象在 $x=0$ 处位于 $x$ 轴上方，而 $f(0)=\dfrac{b}{c^2}>0$，故 $b>0$. 图象与 $x$ 轴的交点在正半轴上，零点 $-\dfrac{b}{a}>0$，结合 $b>0$ 得 $a<0$. 因此只有选项 C 正确. \end{solution}

设 $x^{3} + ax + b = 0$，其中 $a$，$b$ 均为实数. 下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______.

① $a = -3$，$b = -3$； ② $a = -3$，$b = 2$； ③ $a = -3$，$b > 2$； ④ $a = 0$，$b = 2$； ⑤ $a = 1$，$b = 2$.

\begin{solution} 令 $g(x)=x^3+ax+b$，则 $g'(x)=3x^2+a$.

当 $a=-3$ 时，$g'(x)=3(x^2-1)$，极值点为 $x=-1$，$1$，且 $g(-1)=b+2$，$g(1)=b-2$. 条件\circled{1}中 $b=-3$，两个极值点的函数值均为负，曲线只在 $x>1$ 上与 $x$ 轴相交一次；条件\circled{2}中 $b=2$，方程为 $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$，有两个不同的实根，故不满足；条件\circled{3}中 $b>2$，两个极值点的函数值均为正，曲线只在 $x<-1$ 上与 $x$ 轴相交一次.

条件\circled{4}中方程为 $x^3+2=0$，函数 $x^3+2$ 严格递增，只有一个实根；条件\circled{5}中 $g'(x)=3x^2+1>0$，函数严格递增，也只有一个实根. 所以正确条件为 $\circled{1}$，$\circled{3}$，$\circled{4}$，$\circled{5}$. \end{solution}

设函数 $f(x) = x^{2} - ax + b$.

(1) 讨论函数 $f(\sin x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的单调性并判断有无极值. 有极值时求出极值； (2) 记 $f_{0}(x) = x^{2} - a_{0}x + b_{0}$，求函数 $|f(\sin x) - f_{0}(\sin x)|$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值 $D$； (3) 在上一问中，取 $a_0 = b_0 = 0$，求 $z = b - \frac{a^2}{4}$ 满足 $D \leqslant 1$ 时的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $h(x)=f(\sin x)=\sin^2x-a\sin x+b$. 则 在给定区间内 $\cos x>0$，所以单调性由 $2\sin x-a$ 的符号决定.

当 $a\leqslant-2$ 时，对任意 $x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)$，有 $2\sin x-a>0$，故 $h(x)$ 单调递增且无极值. 当 $a\geqslant2$ 时，有 $2\sin x-a<0$，故 $h(x)$ 单调递减且无极值. 当 $-2<a<2$ 时，方程 $2\sin x-a=0$ 在区间内有唯一解 $x_0=\arcsin\frac a2$，函数先减后增，在 $x_0$ 处取得极小值

\item 令 $t=\sin x$，则 $t\in[-1,1]$，并且 因此 根据 $\max\{|u-v|,|u+v|\}=|u|+|v|$，得到

\item 此时 $D=|a|+|b|\leqslant1$. 于是 取 $a=0$，$b=1$ 时 $D=1$，且 $z=1$，所以 $z$ 的最大值为 $1$. \end{enumerate} \end{solution}