已知 $m$，$n$ 是两条不同直线，$\alpha$，$\beta$ 是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

\begin{solution} 选项 A 不正确. 例如取 $\alpha:x=0$、$\beta:y=0$、公共平面为 $z=0$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 都垂直于 $z=0$，但二者相交而不平行.

选项 B 不正确. 取平面 $\pi:z=0$，直线 $m:y=0$，$z=1$ 与 $n:x=0$，$z=2$ 都平行于 $\pi$，但两直线方向不同，故不平行.

选项 C 不正确. 例如取 $\alpha:z=0$、$\beta:y=0$，两平面相交但直线 $y=1$，$z=0$ 在 $\alpha$ 内且平行于 $\beta$.

若两条直线都垂直于同一平面，则它们的方向都与该平面的法向量平行，从而两直线平行. 因此当 $m$，$n$ 不平行时，它们不可能同时垂直于同一平面，选 D. \end{solution}

一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

\begin{solution} 根据三视图建立坐标系，可取四面体的四个顶点为 $A=(0,0,1)$，$B=(-1,0,0)$，$C=(1,0,0)$，$D=(0,1,0)$. 这与正视图、侧视图和俯视图中的长度及投影关系一致.

于是 $AB=AC=AD=BD=CD=\sqrt{2}$，$BC=2$. 三角形 $ABC$ 和 $BCD$ 的底边均为 $2$，高均为 $1$，所以它们的面积均为 $1$. 三角形 $ABD$ 和 $ACD$ 都是边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形，面积均为 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2})^2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

因此四面体的表面积为 故选 B. \end{solution}

如图所示，在多面体 $A_{1}B_{1}D_{1}DCBA$，四边形 $AA_{1}B_{1}B$，$ADD_{1}A_{1}$，$ABCD$ 均为正方形，$E$ 为 $B_{1}D_{1}$ 的中点，过 $A_{1}$，$D$，$E$ 的平面交 $CD_{1}$ 于 $F$.

(1) 证明：$EF \parallel B_{1}C$； (2) 求二面角 $E - A_{1}D - B_{1}$ 的余弦值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设三个正方形的边长为 $1$，建立直角坐标系： $A=(0,0,0)$，$\ B=(0,1,0)$，$\ C=(1,1,0)$，$\ D=(1,0,0)$， $A_1=(0,0,1)$，$\ B_1=(0,1,1)$，$\ D_1=(1,0,1)$. 因为 $E$ 是 $B_1D_1$ 的中点，所以 $E=(\frac12,\frac12,1)$. 平面 $A_1DE$ 的方程为 设 $F\in CD_1$，则可写成 $F=(1,1-t,t)$. 代入平面方程得 $2t=1$，故 $F=(1,\frac12,\frac12)$. 于是 $\overrightarrow{EF}=\left(\frac12,0,-\frac12\right)=\frac12(1,0,-1)$，$\overrightarrow{B_1C}=(1,0,-1)$， 所以 $EF\parallel B_1C$.

\item 平面 $A_1DE$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}_1=(1,-1,1)$，平面 $B_1A_1D$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}_2=(1,0,1)$. 设二面角的平面角为 $\theta$，则 \end{enumerate} \end{solution}