极坐标方程 $\rho^2\cos 2\theta-2\rho\cos\theta=1$ 表示的曲线是（ ）

\begin{solution} 令 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，则 $\rho^2\cos2\theta=x^2-y^2$，且 $\rho\cos\theta=x$. 原方程化为 $x^2-y^2-2x=1$，即 $(x-1)^2-y^2=2$. 这是以 $(1,0)$ 为中心、实轴平行于 $x$ 轴的双曲线，应选 D. \end{solution}

以双曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是______.

\begin{solution} 双曲线的半长轴为 $4$，半短轴为 $3$，所以半焦距为 $c=\sqrt{4^2+3^2}=5$. 因而双曲线的右顶点为 $V(4,0)$，左焦点为 $F(-5,0)$. 设所求抛物线的标准方程为 $y^2=4p(x-4)$，则其焦点为 $(4+p,0)$. 由 $4+p=-5$ 得 $p=-9$，所以所求抛物线的方程为 $y^2=-36(x-4)$. \end{solution}

如图，椭圆的长轴 $A_1A_2$ 与 $x$ 轴平行，短轴 $B_1B_2$ 在 $y$ 轴上，中心为 $M(0,r)$（$b>r>0$）.

(1) 写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (2) 直线 $y=k_1x$ 交椭圆于两点 $C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$（$y_2>0$）；直线 $y=k_2x$ 交椭圆于两点 $G(x_3,y_3)$，$H(x_4,y_4)$（$y_4>0$）. 求证：$\frac{k_1x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{k_2x_3x_4}{x_3+x_4}$； (3) 对于前一问中的 $C$，$D$，$G$，$H$，设 $CH$ 交 $x$ 轴于点 $P$，$GD$ 交 $x$ 轴于点 $Q$. 求证：$|OP|=|OQ|$.（证明过程不考虑 $CH$ 或 $GD$ 垂直于 $x$ 轴的情形）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由长轴、短轴的方向知 $a>b$，结合题设 $b>r>0$，故 $a>b>r>0$. 椭圆中心为 $M(0,r)$，半长轴为 $a$，半短轴为 $b$，所以方程为 $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-r)^2}{b^2}=1$. 设 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，则两个焦点为 $F_1(-c,r)$、$F_2(c,r)$，离心率为 $e=\frac ca=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a$. \item 对任意斜率为 $k$ 的直线 $y=kx$，代入椭圆方程并整理，得 $(b^2+a^2k^2)x^2-2a^2rkx+a^2(r^2-b^2)=0$. 由于 $y_2=k_1x_2>0$、$y_4=k_2x_4>0$，有 $k_1\ne0$、$k_2\ne0$，下列分式均有意义. 当 $k=k_1$ 时，由韦达定理有 $x_1+x_2=\frac{2a^2rk_1}{b^2+a^2k_1^2}$，$x_1x_2=\frac{a^2(r^2-b^2)}{b^2+a^2k_1^2}$，从而 $\displaystyle\frac{k_1x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{r^2-b^2}{2r}$. 当 $k=k_2$ 时，同一方程给出 $x_3+x_4=\frac{2a^2rk_2}{b^2+a^2k_2^2}$，$x_3x_4=\frac{a^2(r^2-b^2)}{b^2+a^2k_2^2}$，从而 $\displaystyle\frac{k_2x_3x_4}{x_3+x_4}=\frac{r^2-b^2}{2r}$. 因此 $\displaystyle\frac{k_1x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{k_2x_3x_4}{x_3+x_4}$. \item 设 $P=(p,0)$，$Q=(q,0)$. 由两点式求直线 $CH$ 与 $x$ 轴交点的横坐标，得 $\displaystyle p=\frac{x_1y_4-x_4y_1}{y_4-y_1}=\frac{x_1x_4(k_2-k_1)}{k_2x_4-k_1x_1}$. 由于 $D$，$Q$，$G$ 三点共线，有 $\displaystyle\frac{x_2-q}{x_3-q}=\frac{y_2}{y_3}=\frac{k_1x_2}{k_2x_3}$，解得 $\displaystyle q=\frac{x_3y_2-x_2y_3}{y_2-y_3}=\frac{x_2x_3(k_1-k_2)}{k_1x_2-k_2x_3}$. 由上一问的等式可得 $k_1x_1x_2(x_3+x_4)=k_2x_3x_4(x_1+x_2)$，整理为 $\displaystyle\frac{x_1x_4}{k_2x_4-k_1x_1}=\frac{x_2x_3}{k_1x_2-k_2x_3}$. 结合 $p$ 与 $q$ 的表达式，得到 $p=-q$，所以 $\lvert OP\rvert=\lvert OQ\rvert$. \end{enumerate} \end{solution}