将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______.

\begin{solution} 设正方形的周长为 $x$，则圆的周长为 $1-x$，其中 $0<x<1$. 正方形和圆的面积之和为 求导得 $S'(x)=\frac{x}{8}-\frac{1-x}{2\pi}$，令 $S'(x)=0$，得到 $\pi x=4(1-x)$，即 $x=\frac{4}{4+\pi}$. 又 $S''(x)=\frac18+\frac{1}{2\pi}>0$，所以此时面积之和取得最小值. 因此正方形的周长为 $\frac{4}{4+\pi}$. \end{solution}

有三个新兴城镇，分别位于 $A$，$B$，$C$ 三点处，且 $AB=AC=a$，$BC=2b$. 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 $BC$ 的垂直平分线上的 $P$ 点处.（建立坐标系如图）

(1) 若希望点 $P$ 到三镇距离的平方和为最小，点 $P$ 应位于何处？ (2) 若希望点 $P$ 到三镇的最远距离为最小，点 $P$ 应位于何处？

\begin{solution} 由三角形的非退化性有 $a>b>0$. 设 $h=\sqrt{a^2-b^2}>0$，则由题设可取 $A(0,h)$，$B(-b,0)$，$C(b,0)$，并设 $P(0,t)$. \begin{enumerate} \item 点 $P$ 到三镇距离的平方和为 $L(t)=(t-h)^2+(t^2+b^2)+(t^2+b^2)=3t^2-2ht+h^2+2b^2=3\left(t-\frac h3\right)^2+\frac{2h^2}{3}+2b^2$. 因此当 $t=\frac h3$ 时平方和最小，即 $P$ 位于 $AO$ 上且 $OP=\frac h3=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}3$. \item 记点 $P$ 到三镇的最远距离为 $F(t)=\max\left\{|t-h|,\sqrt{t^2+b^2}\right\}$. 当 $t<0$ 时，$|t-h|>h$ 且 $\sqrt{t^2+b^2}>b$，故不可能优于 $t=0$；当 $t>h$ 时，两项均随 $t$ 增大而增大，故最优点在 $[0,h]$ 内. 在 $[0,h]$ 上，$h-t$ 单调递减，$\sqrt{t^2+b^2}$ 单调递增，二者相等的条件为 $(h-t)^2=t^2+b^2$，即 $t=\frac{h^2-b^2}{2h}$. 若 $h\leq b$，该值不为正，且在 $[0,h]$ 上始终有 $h-t\leq\sqrt{t^2+b^2}$，所以 $F(t)$ 在 $t=0$ 时最小，$P=O$. 若 $h>b$，令 $t_0=\frac{h^2-b^2}{2h}$，则 $0<t_0<h$，在 $0\leq t\leq t_0$ 时 $F(t)=h-t$ 递减，在 $t_0\leq t\leq h$ 时 $F(t)=\sqrt{t^2+b^2}$ 递增，故最小点为 $P(0,t_0)$. 由于 $h^2=a^2-b^2$，这等价于：当 $a^2\leq2b^2$ 时 $P=O$；当 $a^2>2b^2$ 时 $P$ 位于 $AO$ 上，且 $\displaystyle OP=\frac{a^2-2b^2}{2\sqrt{a^2-b^2}}$. \end{enumerate} \end{solution}