已知 $\alpha$，$\beta$ 是平面，$m$，$n$ 是直线. 下列命题中不正确的是（ ）

\begin{solution} 若 $m\parallel n$ 且 $m\perp\alpha$，则与 $m$ 平行的直线 $n$ 也垂直于平面 $\alpha$，所以命题 A 正确. 若两平面都垂直于同一直线 $m$，则它们的法向方向相同，从而 $\alpha\parallel\beta$，命题 C 正确. 若 $m\perp\alpha$ 且 $m\subset\beta$，平面 $\beta$ 内有一条直线垂直于平面 $\alpha$，所以 $\alpha\perp\beta$，命题 D 正确.

命题 B 不成立：例如取 $\alpha$ 为平面 $z=0$，$\beta$ 为平面 $y=0$，则 $n=\alpha\cap\beta$ 为 $x$ 轴；再取直线 $m\colon y=x$，$\ z=1$，则 $m\parallel\alpha$，但 $m\not\parallel n$. 因此不正确的是 B. \end{solution}

如果圆台的母线与底面成 $60^{\circ}$ 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）

\begin{solution} 设圆台上、下底面的半径分别为 $R$、$r_0$，母线长为 $\ell$，高为 $h$. 母线与底面成 $60^{\circ}$ 角，所以 $h=\ell\sin60^{\circ}$. 圆台的侧面积为 $S_1=\pi(R+r_0)\ell$，轴截面是高为 $h$、两底边长分别为 $2R$、$2r_0$ 的等腰梯形，故其面积为 $S_2=(R+r_0)h$. 因此 所以应选 C. \end{solution}

如图，已知底面半径为 $r$ 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 $a$，最小值为 $b$，那么圆柱被截后剩下部分的体积是______.

\begin{solution} 取圆柱底面为 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leqslant r^2\}$，以底面为 $z=0$. 截平面下方剩余部分在底面点 $(x,y)$ 处的母线长度可写成一次函数 $\ell(x,y)=ux+vy+w$. 若 $(u,v)\ne(0,0)$，则一次函数在圆盘 $D$ 上的最大值和最小值分别在一对相反点 $(x_0,y_0)$、$(-x_0,-y_0)$ 处取得，因此 $a=\ell(x_0,y_0)$，$b=\ell(-x_0,-y_0)$，从而 $a+b=2w$；若 $u=v=0$，则 $\ell$ 为常数，结论同样成立.

所以剩余部分的体积为 前两个积分因圆盘关于原点对称而为 $0$，最后一个积分为 $w\pi r^2$，故 $V=w\pi r^2=\frac12\pi r^2(a+b)$. \end{solution}

如图，正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面边长为 $3$，侧棱 $AA_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$D$ 是 $CB$ 延长线上一点，且 $BD=BC$.

(1) 求证：直线 $BC_1\parallel$ 平面 $AB_1D$； (2) 求二面角 $B_1-AD-B$ 的大小； (3) 求三棱锥 $C_1-ABB_1$ 的体积.

\begin{solution} 令 $h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，建立直角坐标系，使 $B(0,0,0)$，$C(3,0,0)$，$A(\frac32,h,0)$，且棱柱沿 $z$ 轴方向延伸. 由 $C$，$B$，$D$ 依次在同一直线上且 $BD=BC=3$，得 $D(-3,0,0)$，又 $B_1(0,0,h)$，$C_1(3,0,h)$. \begin{enumerate} \item 由坐标直接得到 $\overrightarrow{BC_1}=(3,0,h)=\overrightarrow{DB_1}$. 直线 $DB_1$ 在平面 $AB_1D$ 内，且平面 $AB_1D$ 的方程为 $h(x+3)-\frac92y-3z=0$，点 $B$ 不在此平面内. 因此 $BC_1\parallel DB_1$，且 $BC_1$ 平行于平面 $AB_1D$. \item 平面 $ADB$ 是底面所在的平面，其一个法向量为 $\boldsymbol{n}_2=(0,0,1)$. 平面 $ADB_1$ 内取 $\overrightarrow{DA}=(\frac92,h,0)$，$\overrightarrow{DB_1}=(3,0,h)$，于是其一个法向量为 $\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DB_1}=(h^2,-\frac92h,-3h)$. 代入 $h=\frac{3\sqrt3}{2}$ 得 $\lVert\boldsymbol{n}_1\rVert=9\sqrt3$，且 $\lvert\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2\rvert=3h=\frac{9\sqrt3}{2}$. 设二面角 $B_1-AD-B$ 的平面角为 $\theta$，则 $\cos\theta=\frac{\lvert\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2\rvert}{\lVert\boldsymbol{n}_1\rVert\lVert\boldsymbol{n}_2\rVert}=\frac12$，所以 $\theta=60^{\circ}$. \item 三角形 $ABB_1$ 是直角三角形，故 $S_{\triangle ABB_1}=\frac12\cdot AB\cdot BB_1=\frac12\cdot3\cdot h=\frac{9\sqrt3}{4}$. 平面 $ABB_1$ 是过 $AB$ 的竖直平面，点 $C_1$ 到该平面的距离等于底面内点 $C$ 到边 $AB$ 的距离，即正三角形 $ABC$ 的高 $h$. 因此三棱锥 $C_1-ABB_1$ 的体积为 $V=\frac13S_{\triangle ABB_1}h=\frac13\cdot\frac{9\sqrt3}{4}\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=\frac{27}{8}$. \end{enumerate} \end{solution}