“$\cos 2\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$”是“$\alpha=k\pi+\frac{5\pi}{12}$，$k\in\mathbf{Z}$”的（ ）

\begin{solution} 由 $\cos 2\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$，得 $2\alpha=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ 或 $2\alpha=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 因此 $\alpha=\frac{5\pi}{12}+k\pi$ 或 $\alpha=\frac{7\pi}{12}+k\pi$. 后一个条件“$\alpha=k\pi+\frac{5\pi}{12}$”能推出前一个等式，但前一个等式还包含 $\alpha=k\pi+\frac{7\pi}{12}$ 的情形，所以它是必要非充分条件，应选 A. \end{solution}

函数 $f(x)=\lg(1+x^2)$， $h(x)=\tan 2x$ 中，______ 是偶函数.

\begin{solution} 对任意定义域内的 $x$，有 $f(-x)=\lg(1+(-x)^2)=\lg(1+x^2)=f(x)$，所以 $f$ 是偶函数. 对 $g$ 分段考察：当 $x>1$ 时，$g(x)=-x+2$，且 $-x<-1$，故 $g(-x)=(-x)+2=-x+2=g(x)$；当 $x<-1$ 时，$-x>1$，故 $g(-x)=-(-x)+2=x+2=g(x)$；当 $\lvert x\rvert\leqslant1$ 时，$\lvert -x\rvert\leqslant1$，从而 $g(-x)=g(x)=0$. 所以 $g$ 也是偶函数.

函数 $h$ 的定义域为 $\{x\mid \cos2x\ne0\}$，关于原点对称；在该定义域内，$h(-x)=\tan(-2x)=-\tan2x=-h(x)$，所以 $h$ 是奇函数而不是偶函数. 因此填 $f(x)$、$g(x)$. \end{solution}

已知函数 $f(x)=\cos^{4}x-2\sin x\cos x-\sin^{4}x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 若 $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，求 $f(x)$ 的最大值，最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos 2x$，且 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，得 $f(x)=\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$. 因为自变量 $x$ 的系数为 $2$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$. \item 令 $t=2x$，则 $t\in[0,\pi]$，并设 $\varphi(t)=\cos t-\sin t$，于是 $f(x)=\varphi(t)$. 有 $\varphi'(t)=-\sin t-\cos t$，在区间 $[0,\pi]$ 内令 $\varphi'(t)=0$，得 $t=\frac{3\pi}{4}$. 比较端点和驻点的函数值：$\varphi(0)=1$，$\varphi(\frac{3\pi}{4})=-\sqrt{2}$，$\varphi(\pi)=-1$. 因而当 $t=0$，即 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $1$；当 $t=\frac{3\pi}{4}$，即 $x=\frac{3\pi}{8}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-\sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{solution}