设直线 $l_1$，$l_2$ 分别是函数 图象上点 $P_1$，$P_2$ 处的切线，$l_1$ 与 $l_2$ 垂直相交于点 $P$，且 $l_1$，$l_2$ 分别与 $y$ 轴相交于点 $A$，$B$，则 $\triangle PAB$ 的面积的取值范围是（ ）

\begin{solution} 设 $P_1=(x_1,-\ln x_1)$，$P_2=(x_2,\ln x_2)$，其中 $0<x_1<1<x_2$.两条切线的斜率分别为 $-\frac{1}{x_1}$ 和 $\frac{1}{x_2}$.由两切线垂直， 故 $x_1x_2=1$.令 $t=\ln x_2=-\ln x_1>0$，则 $x_1=\mathrm{e}^{-t}$，$x_2=\mathrm{e}^t$.两条切线分别为 $l_1:y=-\mathrm{e}^tx+t+1$，$l_2:y=\mathrm{e}^{-t}x+t-1$. 它们在 $y$ 轴上的截距之差为 $2$，而联立两式得交点 $P$ 的横坐标 所以 当 $t>0$ 时，分母大于 $2$，且随 $t$ 从 $0$ 增大到 $+\infty$ 时该面积从 $1$ 降到 $0$.故面积的取值范围为 $(0,1)$，选 A. \end{solution}

设函数 $f(x)=ax^2-a-\ln x$，其中 $a\in\mathbf{R}$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>\dfrac1x-\mathrm{e}^{1-x}$ 在区间 $\left(1,+\infty\right)$ 内恒成立（$\mathrm{e}=2.718\ldots$ 为自然对数的底数）.