已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的周期为 $2$ 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^x$，则 $f\left(-\dfrac52\right)+f(1)=\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{solution} 由周期性， 由奇函数性质， 又因周期为 $2$，有 $f(-1)=f(1)$；因奇函数 $f(-1)=-f(1)$，所以 $f(1)=0$.故 \end{solution}

在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身，平面曲线 $C$ 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 $C'$ 定义为曲线 $C$ 的“伴随曲线”. 现有下列命题：

① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A'$，则点 $A'$ 的“伴随点”是点 $A$； ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③ 若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则其“伴随曲线” $C'$ 关于 $y$ 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）

\begin{solution} 对非原点 $P=(x,y)$，记 $r^2=x^2+y^2$，则其伴随点为 再次取伴随点时，因 有 一般并不成立.例如 $(1,0)$ 的伴随点为 $(0,-1)$，而 $(0,-1)$ 的伴随点为 $(-1,0)$，所以命题 $\circled{1}$ 错误.

若 $P$ 在单位圆上，则 $r^2=1$，其伴随点为 $(y,-x)$，仍在单位圆上；该变换在单位圆上是旋转，且为双射，所以单位圆的伴随曲线仍是单位圆，命题 $\circled{2}$ 正确.

若 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则 $(x,y)\in C$ 时 $(x,-y)\in C$.这两个点的伴随点分别为 $\left(\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right)$，$\left(-\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right)$ 它们关于 $y$ 轴对称，所以命题 $\circled{3}$ 正确.

命题 $\circled{4}$ 错误.例如直线 $y=1$ 上的三个点 $(0,1)$、$(1,1)$、$(2,1)$ 的伴随点分别为 $(1,0)$，$\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)$，$\left(\dfrac15,-\dfrac25\right)$. 前两点连线斜率为 $1$，后两点连线斜率为 $-\dfrac13$，三点不共线.因此所有真命题的序列为 $\circled{2}\circled{3}$. \end{solution}