设 $p$：实数 $x$，$y$ 满足 $\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\le2$，$q$：实数 $x$，$y$ 满足 ，则 $p$ 是 $q$ 的（ ）

\begin{solution} 令 $u=x-1$，$v=y-1$.条件 $q$ 化为 $v\geq u-1$，$v\geq-u-1$，$v\leq0$. 由前两个不等式得 $v\geq |u|-1$，再结合 $v\leq0$ 可知 $-1\leq v\leq0$，且 $|u|\leq v+1$.因此 故满足 $q$ 的点都满足 $p$，即 $q\Rightarrow p$.但点 $(1,1+\sqrt2)$ 满足 $p$，而 $y=1+\sqrt2>1$，不满足 $q$，所以 $p\not\Rightarrow q$.因此 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，选 A. \end{solution}

设函数 $f(x)=ax^2-a-\ln x$，其中 $a\in\mathbf{R}$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>\dfrac1x-\mathrm{e}^{1-x}$ 在区间 $\left(1,+\infty\right)$ 内恒成立（$\mathrm{e}=2.718\ldots$ 为自然对数的底数）.