在极坐标系中，定点 $A\left(1, \frac{\pi}{2}\right)$，点 $B$ 在直线 $\rho \cos \theta + \rho \sin \theta = 0$ 上运动，当线段 $AB$ 最短时，点 $B$ 的极坐标是______.

已知点 $A\left(0, \frac{2}{n}\right)$，$B\left(0, -\frac{2}{n}\right)$，$C\left(4 + \frac{2}{n}, 0\right)$，其中 $n$ 为正整数. 设 $S_{n}$ 表示 $\triangle ABC$ 外接圆的面积，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_{n} =$______.

给出问题： $F_{1}$，$F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{20}=1$ 的焦点，点 $P$ 在双曲线上. 若点 $P$ 到焦点 $F_{1}$ 的距离等于 $9$，求点 $P$ 到焦点 $F_{2}$ 的距离. 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 $8$，由 $\left|PF_{1}\right| - \left|PF_{2}\right| = 8$，即 $\left|9 - \left|PF_{2}\right|\right| = 8$，得 $\left|PF_{2}\right| = 1$ 或 $17$. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内______.

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 $22\text{ 米}$，要求通行车辆限高 $4.5\text{ 米}$，隧道全长 $2.5\text{ 千米}$，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1) 若最大拱高 $h$ 为 $6\text{ 米}$，则隧道设计的拱宽 $l$ 是多少？ (2) 若最大拱高 $h$ 不小于 $6\text{ 米}$，则应如何设计拱高 $h$ 和拱宽 $l$，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

注：半个椭圆的面积公式为 $S = \frac{\pi}{4} lh$，柱体体积为：底面积乘以高，本题结果精确到 $0.1\text{ 米}$.

在以 $O$ 为原点的直角坐标系中，点 $A(4, -3)$ 为 $\triangle OAB$ 的直角顶点. 已知 $|AB| = 2|OA|$，且点 $B$ 的纵坐标大于零.

(1) 求向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标； (2) 求圆 $x^{2} - 6x + y^{2} + 2y = 0$ 关于直线 $OB$ 对称的圆的方程； (3) 是否存在实数 $a$，使抛物线 $y = ax^2 - 1$ 上总有关于直线 $OB$ 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 $a$ 的取值范围.