已知 $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{2}{x - 1} + \frac{ax - 1}{3x}\right) = 2$，则 $a =$（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 因为 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x-1}=0$，且 $\displaystyle\frac{ax-1}{3x}=\frac{a}{3}-\frac{1}{3x}$，所以原极限等于 $\frac{a}{3}$. 由 $\frac{a}{3}=2$，得 $a=6$，故选 D. \end{solution}

设 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ 的导数 $f'(x)$ 满足 $f'(1) = 2a$，$f'(2) = -b$，其中常数 $a$，$b \in \mathbf{R}$.

(1) 求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程； (2) 设 $g(x) = f'(x) \mathrm{e}^{-x}$，求函数 $g(x)$ 的极值.