下列区间中，函数 $f(x) = |\ln (2 - x)|$ 在其上为增函数的是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 函数的定义域为 $x<2$. 当 $x\in(-\infty,1]$ 时，$\ln(2-x)\geqslant0$，所以 $f(x)=\ln(2-x)$，且 $f'(x)=-\frac{1}{2-x}<0$，函数在此区间上为减函数. 当 $x\in[1,2)$ 时，$\ln(2-x)\leqslant0$，所以 $f(x)=-\ln(2-x)$，且 $f'(x)=\frac{1}{2-x}>0$，函数在此区间上为增函数. 选项 A 为减区间，B、C 均跨过 $x=1$，只有 D 是增区间，故选 D. \end{solution}

设 $m$，$k$ 为整数，方程 $mx^2 - kx + 2 = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内有两个不同的根，则 $m + k$ 的最小值为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设方程的两个根为 $r_1$，$r_2$，其中 $0<r_1<r_2<1$. 由韦达定理，$r_1r_2=\frac{2}{m}>0$，且 $r_1+r_2=\frac{k}{m}>0$，故 $m>0$，$k>0$. 又因 $r_1r_2<1$，得 $m>2$，所以 $m\geqslant3$. 方程有两个不同的实根，故判别式 $\Delta=k^2-8m>0$. 另外，$f(1)=m-k+2=m(1-r_1)(1-r_2)>0$，所以 $k<m+2$.

当 $m=3$，$4$，$5$ 时，由 $k<m+2$ 及 $k$ 为正整数，分别有 $k\leqslant4$，$5$，$6$，但此时分别有 $k^2\leqslant16<24=8m$，$k^2\leqslant25<32=8m$，$k^2\leqslant36<40=8m$，均与 $\Delta>0$ 矛盾. 当 $m\geqslant7$ 时，$k^2>8m\geqslant56$，所以 $k\geqslant8$，从而 $m+k\geqslant15$. 因此只需考察 $m=6$，此时 $k^2>48$，故 $k\geqslant7$. 取 $k=7$，方程为 $6x^2-7x+2=0=(3x-2)(2x-1)$，两个根为 $\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，均在 $(0,1)$ 内. 所以 $m+k$ 的最小值为 $6+7=13$，故选 D. \end{solution}