高为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 的四棱锥 $S - ABCD$ 的底面是边长为 1 的正方形，点 $S$，$A$，$B$，$C$，$D$ 均在半径为 1 的同一球面上，则底面 $ABCD$ 的中心与顶点 $S$ 之间的距离为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设正方形中心为 $O$，球心为 $T$. 由正方形边长为 $1$，得 $OA=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 因为 $A$，$B$，$C$，$D$ 在同一球面上，球心 $T$ 在过 $O$ 且垂直于底面的直线上，且 $OT^2=1-OA^2=\frac{1}{2}$. 取底面为水平面，并令顶点 $S$ 在其上方，若 $T$ 在底面下方，则 $ST\geqslant\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}>1$，与 $S$ 在半径为 $1$ 的球面上矛盾，故 $T$ 在底面上方，且 $OT=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 设 $S$ 到底面的高为 $h=\frac{\sqrt{2}}{4}$，由 $ST=1$ 得 $OS^2=1+2h\cdot OT-OT^2=1+2\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}=1$. 所以底面中心与顶点 $S$ 的距离为 $1$，故选 C. \end{solution}

如图，在四面体 $ABCD$ 中，平面 $ABC \perp$ 平面 $ACD$，$AB \perp BC$，$AD = CD$，$\angle CAD = 30^\circ$.

(1) 若 $AD = 2$，$AB = 2BC$，求四面体 $ABCD$ 的体积； (2) 若二面角 $C - AB - D$ 为 $60^{\circ}$，求异面直线 $AD$ 与 $BC$ 所成角的余弦值.