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06三角函数★★☆☆☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边 aa，bb，cc 满足 (a+b)2−c2=4(a + b)^2 - c^2 = 4，且 C=60∘C = 60^\circ，则 abab 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由余弦定理及 C=60∘C=60^\circ，得 c2=a2+b2−2abcos⁡60∘=a2+b2−abc^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab. 因此 (a+b)2−c2=a2+2ab+b2−(a2+b2−ab)=3ab=4(a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-(a^2+b^2-ab)=3ab=4，所以 ab=43ab=\frac{4}{3}，故选 A. \end{solution}
A.
43\frac{4}{3}
B.
8−438 - 4\sqrt{3}
C.
1
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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14三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡α=12+cos⁡α\sin \alpha = \frac{1}{2} + \cos \alpha，且 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则 cos⁡2αsin⁡(α−π4)\frac{\cos 2\alpha}{\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)} 的值为______. \begin{answer} −142-\frac{\sqrt{14}}{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 s=sin⁡αs=\sin\alpha，c=cos⁡αc=\cos\alpha，则 s−c=12s-c=\frac{1}{2}. 由 s2+c2=1s^2+c^2=1，得 1−2sc=(s−c)2=141-2sc=(s-c)^2=\frac{1}{4}，所以 sc=38sc=\frac{3}{8}. 又因 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，有 s+c>0s+c>0，从而 (s+c)2=1+2sc=74(s+c)^2=1+2sc=\frac{7}{4}，即 s+c=72s+c=\frac{\sqrt{7}}{2}. 因此 cos⁡2α=c2−s2=(c−s)(c+s)=−74\cos2\alpha=c^2-s^2=(c-s)(c+s)=-\frac{\sqrt{7}}{4}，且 sin⁡(α−π4)=s−c2=24\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{s-c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}. 所以原式等于 −7424=−142\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=-\frac{\sqrt{14}}{2}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 a∈Ra \in \mathbf{R}，f(x)=cos⁡x(asin⁡x−cos⁡x)+cos⁡2(π2−x)f(x) = \cos x (a \sin x - \cos x) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) 满足 f(−π3)=f(0)f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = f(0)，求函数 f(x)f(x) 在 [π4,11π24]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{24}\right] 上的最大值和最小值.

2011 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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