某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 $2$，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

如图，圆形纸片的圆心为 $O$，半径为 $5\mathrm{~cm}$，该纸片上的等边三角形 $ABC$ 的中心为 $O$. $D$，$E$，$F$ 为圆 $O$ 上的点，$\triangle DBC$，$\triangle ECA$，$\triangle FAB$ 分别是以 $BC$，$CA$，$AB$ 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 $BC$，$CA$，$AB$ 为折痕折起 $\triangle DBC$，$\triangle ECA$，$\triangle FAB$，使得 $D$，$E$，$F$ 重合，得到三棱锥. 当 $\triangle ABC$ 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：$\mathrm{cm}^3$）的最大值为______.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，且 $\angle BAP=\angle CDP=90^\circ$.

(1) 证明：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$； (2) 若 $PA=PD=AB=DC$，$\angle APD=90^\circ$，求二面角 $A-PB-C$ 的余弦值.