过双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 $A$，$B$ 两点，$|AB|=$（ ）

设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与圆 $(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}$（$r > 0$）相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $AB$ 的中点. 若这样的直线 $l$ 恰有 $4$ 条，则 $r$ 的取值范围是（ ）

如图，椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，点 $P(0,1)$ 在短轴 $CD$ 上，且 $\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点. 是否存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.