在三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，其正视图和侧视图都是边长为 $1$ 的正方形，俯视图是直角边长为 $1$ 的等腰直角三角形. 设点 $M$，$N$，$P$ 分别是棱 $AB$，$BC$，$B_{1}C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $P - A_{1}MN$ 的体积是______.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

(1) 请将字母 $F$，$G$，$H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； (2) 判断平面 $BEG$ 与平面 $ACH$ 的位置关系，并证明你的结论； (3) 证明：直线 $DF \perp$ 平面 $BEG$.