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01复数★☆☆☆☆
设 i\mathrm{i} 为虚数单位，则复数 5−6ii=\frac{5 - 6\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=（ ）
A.
6+5i6 + 5\mathrm{i}
B.
6−5i6 - 5\mathrm{i}
C.
−6+5i-6 + 5\mathrm{i}
D.
−6−5i-6 - 5\mathrm{i}

2012 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 U={1,2,3,4,5,6}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，M={1,2,4}M = \{1, 2, 4\}，则 ∁UM=\complement_U M =（ ）
A.
UU
B.
{1,3,5}\{1, 3, 5\}
C.
{3,5,6}\{3, 5, 6\}
D.
{2,4,6}\{2, 4, 6\}

2012 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
若向量 BA→=(2,3)\overrightarrow{BA} = (2, 3)，CA→=(4,7)\overrightarrow{CA} = (4, 7)，则 BC→=\overrightarrow{BC} =（ ）
A.
(−2,−4)(-2, -4)
B.
(3,4)(3, 4)
C.
(6,10)(6, 10)
D.
(−6,−10)(-6, -10)

2012 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 上为增函数的是（ ）
A.
y=ln⁡(x+2)y = \ln (x + 2)
B.
y=−x+1y = -\sqrt{x + 1}
C.
y=(12)xy = \left(\frac{1}{2}\right)^x
D.
y=x+1xy = x + \frac{1}{x}

2012 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件
{y≤2,x+y≥1,x−y≤1,\begin{cases} y \le 2,\\ x + y \ge 1,\\ x - y \le 1, \end{cases}
则 z=3x+yz = 3x + y 的最大值为（ ）
A.
1212
B.
1111
C.
33
D.
−1-1

2012 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ）
A.
12π12\pi
B.
45π45\pi
C.
57π57\pi
D.
81π81\pi

2012 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07概率与统计★★★☆☆
从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 00 的概率是（ ）
A.
49\frac{4}{9}
B.
13\frac{1}{3}
C.
29\frac{2}{9}
D.
19\frac{1}{9}

2012 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
对任意两个非零的平面向量 α\boldsymbol{\alpha} 和 β\boldsymbol{\beta}，定义 α∘β=α⋅ββ⋅β\boldsymbol{\alpha} \circ \boldsymbol{\beta} = \frac{\boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\beta}}{\boldsymbol{\beta} \cdot \boldsymbol{\beta}}. 若平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 满足 ∣a∣≥∣b∣>0|\boldsymbol{a}| \ge |\boldsymbol{b}| > 0，a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角 θ∈(0,π4)\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right)，且 a∘b\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} 和 b∘a\boldsymbol{b} \circ \boldsymbol{a} 都在集合 {n2∣n∈Z}\left\{ \frac{n}{2} \mid n \in \mathbf{Z} \right\} 中，则 a∘b=\boldsymbol{a} \circ \boldsymbol{b} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
52\frac{5}{2}

2012 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x+2∣−∣x∣⩽1|x + 2| - |x| \leqslant 1 的解集为______.

2012 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x2+1x)6\left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{6} 的展开式中 x3x^{3} 的系数为______. （用数字作答）

2012 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★☆☆☆☆
已知递增的等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=1a_{1} = 1，a3=a22−4a_{3} = a_{2}^{2} - 4，则 an=a_{n} =______.

2012 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12导数及其应用★☆☆☆☆
曲线 y=x3−x+3y = x^{3} - x + 3 在点 (1,3)(1,3) 处的切线方程为______.

2012 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，若输入 nn 的值为 8，则输出 ss 的值为______.

2012 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 和 C2C_2 的参数方程分别为
{x=t,y=t,\begin{cases} x = t,\\ y = \sqrt{t}, \end{cases}
（tt 为参数） 和
{x=2cos⁡θ,y=2sin⁡θ,\begin{cases} x = \sqrt{2}\cos \theta,\\ y = \sqrt{2}\sin \theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数），则曲线 C1C_1 和 C2C_2 的交点坐标为______.

2012 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
如图，圆 OO 的半径为 11，点 AA、BB、CC 是圆周上的三点. 满足 ∠ABC=30∘\angle ABC = 30^{\circ}，过点 AA 作圆 OO 的切线与 OCOC 的延长线交于点 PP，则 PA=‾PA =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 广东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2cos⁡(ωx+π6)f(x) = 2\cos \left( \omega x + \frac{\pi}{6} \right) （其中 ω>0\omega > 0，x∈Rx \in \mathbf{R} 的最小正周期为 10π10\pi）.
(1) 求 ω\omega 的值； (2) 设 α\alpha，β∈[0,π2]\beta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]，f(5α+53π)=−65f\left( 5\alpha + \frac{5}{3}\pi \right) = -\frac{6}{5}，f(5β−56π)=1617f\left( 5\beta - \frac{5}{6}\pi \right) = \frac{16}{17}，求 cos⁡(α+β)\cos (\alpha + \beta) 的值.

2012 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)[40,50)，[50,60)[50,60)，[60,70)[60,70)，[70,80)[70,80)，[80,90)[80,90)，[90,100][90,100].
(1) 求图中 xx 的值； (2) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上 （含 90 分） 的人数记为 ξ\xi，求 ξ\xi 的数学期望.

2012 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图所示，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，点 EE 在线段 PCPC 上，PC⊥PC \perp 平面 BDEBDE.
(1) 证明： BD⊥BD \perp 平面 PACPAC； (2) 若 PA=1PA = 1，AD=2AD = 2，求二面角 B−PC−AB - PC - A 的正切值.

2012 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，满足 2Sn=an+1−2n+1+12S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a1a_{1}，a2+5a_{2} + 5，a3a_{3} 成等差数列.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+1a3+⋯+1an<32\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{3}{2}.

2012 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率 e=23e = \sqrt{\frac{2}{3}}，且椭圆 CC 上的点到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离的最大值为 33.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 在椭圆 CC 上，是否存在点 M(m,n)M(m, n)，使得直线 l:mx+ny=1l: mx + ny = 1 与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于不同的两点 AA，BB，且 △OAB\triangle OAB 的面积最大？若存在，求出点 MM 的坐标及相对应的 △OAB\triangle OAB 的面积；若不存在，请说明理由.

2012 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★☆
设 a<1a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^3 - 3(1 + a)x^2 + 6ax 在 DD 内的极值点.

2012 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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