已知曲线
C 是到点
P(−21,83) 和到直线
y=−85 距离相等的点的轨迹.
l 是过点
Q(−1,0) 的直线，
M 是
C 上（不在
l 上）的动点，
A、
B 在
l 上，
MA⊥l，
MB⊥x 轴（如图）.
(1) 求曲线
C 的方程；
(2) 求出直线
l 的方程，使得
∣QA∣∣QB∣2 为常数.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 设
N(x,y) 为曲线
C 上的点.由距离相等，
(x+21)2+(y−83)2=y+852
展开并约去
y2，得
x2+x=2y，所以曲线
C 的方程为
y=21(x2+x).
\item 直线
l 不可能为过
Q 的竖直直线，否则由
B∈l 且
MB⊥x 轴可知
M 的横坐标为
−1，而曲线
C 在该直线上只有点
Q，与
M∈/l 矛盾.因此设
l:y=k(x+1).
设
M=(x,f(x))，其中
f(x)=21x(x+1).因为
MB⊥x 轴且
B∈l，有
B=(x,k(x+1))，从而
∣QB∣2=(1+k2)(x+1)2.取直线
l 的方向向量
d=(1,k)，设
A=Q+λd.由
MA⊥l，
λ=1+k2(M−Q)⋅d=1+k2(x+1)+kf(x)=1+k2(x+1)(1+2kx)
因此
∣QA∣∣QB∣2=1+2kx(1+k2)23∣x+1∣
要使这个比值对曲线
C 上的动点
M 为常数，两个一次式
1+2kx 与
x+1 必须成比例.比较常数项和
x 项，得
1=2k，即
k=2.此时
l:y=2(x+1)，即
l:2x−y+2=0，且比值恒为
55.
\end{enumerate}
\end{solution}
