已知 $a$ 是实数，函数 $f(x) = \sqrt{x}(x - a)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 设 $g(a)$ 为 $f(x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最小值.

(i) 写出 $g(a)$ 的表达式； (ii) 求 $a$ 的取值范围，使得 $-6 \leqslant g(a) \leqslant -2$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数定义域为 $[0,+\infty)$.当 $x>0$ 时， 当 $a\leqslant0$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，$f'(x)<0$ 对 $0<x<\frac a3$ 成立，$f'(x)>0$ 对 $x>\frac a3$ 成立，所以 $f(x)$ 在 $\left[0,\frac a3\right]$ 上单调递减，在 $\left[\frac a3,+\infty\right)$ 上单调递增. \item \begin{enumerate} \item 由上题的单调性， \item 当 $a\leqslant0$ 时，$g(a)=0$，不满足条件.当 $0<a<6$ 时， $-6\leqslant-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac a3}\leqslant-2$ 给出 $3\leqslant a<6$. 当 $a\geqslant6$ 时， $-6\leqslant\sqrt2(2-a)\leqslant-2$ 给出 $6\leqslant a\leqslant2+3\sqrt2$.合并两种情形，得 $3\leqslant a\leqslant2+3\sqrt2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{solution}