已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，$a_{2} = 2$，$a_{5} = \frac{1}{4}$，则 $a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + \cdots + a_{n}a_{n+1} =$（ ）

已知数列 $\{a_{n}\}$，$a_{n} \geqslant 0$，$a_{1} = 0$，$a_{n+1}^{2} + a_{n+1} - 1 = a_{n}^{2}$（$n \in \mathbf{N}^*$）. 记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$，$T_{n} = \frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{(1 + a_{1})(1 + a_{2})} + \cdots + \frac{1}{(1 + a_1)(1 + a_2)\cdots(1 + a_n)}$. 求证：当 $n\in \mathbf{N}^*$ 时，

(1) $a_{n} < a_{n + 1}$； (2) $S_{n} > n - 2$； (3) $T_{n} < 3$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $a_n\geqslant0$，递推式中的 $a_{n+1}$ 取非负根，故 先证 $0\leqslant a_n<1$.$a_1=0<1$，若 $0\leqslant a_n<1$，则 $5+4a_n^2<9$，从而 $0<a_{n+1}<1$，归纳可得对一切 $n$ 都成立. 又因为两边均非负， 所以 $a_n<a_{n+1}$. \item $a_2$ 是方程 $x^2+x-1=0$ 的非负根，故 $a_2=\frac{\sqrt5-1}{2}>\frac12$.当 $n=1$，$2$ 时，分别有 $S_1=0>-1$ 和 $S_2=a_2>0$.

当 $k\geqslant3$ 时，递推式可改写为 由于数列递增且 $a_2>\frac12$，有 $a_k+a_{k-1}>2a_2>1$，所以 $1-a_k<a_k-a_{k-1}$.于是当 $n\geqslant3$ 时， 故 $S_n>n-2$. \item 由 $a_1=0$ 且数列递增，$a_k\geqslant a_2$ 对 $k\geqslant2$ 成立.因此 从而 \end{enumerate} \end{solution}