已知某曲线的参数方程是 （$\varphi$ 为参数），若以原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）

\begin{solution} 由参数方程恒有 在极坐标中 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，所以 因此曲线的极坐标方程为 $\rho^{2}\cos2\theta=1$，选 D. \end{solution}

给定四条曲线：

① $x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}$ ② $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ③ $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ④ $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

其中与直线 $x+y-\sqrt{5}=0$ 仅有一个交点的曲线是（ ）

\begin{solution} 把直线方程写成 $y=\sqrt5-x$，分别代入四条曲线. 对曲线 $1$，代入得 其判别式为 $20-20=0$，所以只有一个交点. 对曲线 $2$，代入并整理得 其判别式为 $1620-468=1152>0$，有两个交点. 对曲线 $3$，代入并整理得 其判别式为 $20-20=0$，所以只有一个交点. 对曲线 $4$，代入并整理得 其判别式为 $320-320=0$，所以只有一个交点. 因此满足条件的曲线为 $1$，$3$，$4$，选 D. \end{solution}

已知 $P$ 是直线 $3x+4y+8=0$ 上的动点，$PA$，$PB$ 是圆 $x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$ 的两条切线，$A$，$B$ 是切点，$C$ 是圆心，那么四边形 $PACB$ 面积的最小值为______.

\begin{answer} $2\sqrt2$ \end{answer}

\begin{solution} 圆心为 $C=(1,1)$，半径为 $1$. 圆心到直线的距离为 $3$，故切线长的最小值为 $\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt2$. 四边形面积等于半径乘切线长，故最小值为 $2\sqrt2$. \end{solution}

已知 $O(0,0)$，$B(1,0)$，$C(b,c)$ 是 $\triangle OBC$ 的三个顶点.

(1) 写出 $\triangle OBC$ 的重心 $G$，外心 $F$，垂心 $H$ 的坐标，并证明 $G$，$F$，$H$ 三点共线； (2) 当直线 $FH$ 与 $OB$ 平行时，求顶点 $C$ 的轨迹.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为三角形的三个顶点为 $O=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(b,c)$，且三点不共线，所以 $c\ne0$. 由重心坐标公式， 外心 $F$ 在边 $OB$ 的垂直平分线 $x=\frac12$ 上，设 $F=\left(\frac12,y_F\right)$. 由 $FO=FC$，有 整理得 $2cy_F=b^2+c^2-b$，所以 因为 $OB$ 是水平线，过 $C$ 的高为 $x=b$. 设垂心为 $H=(b,y_H)$，又因 $OH\perp BC$，故 即 $b(b-1)+cy_H=0$，从而 再计算得 于是 $H-F=3(G-F)$，所以 $G$、$F$、$H$ 三点共线. \item 由于 $OB$ 平行于 $x$ 轴，且 $FH$ 为水平线，必须有 化简得 $c^2=3b(1-b)$，即 因此顶点 $C(b,c)$ 的轨迹是椭圆 $\left(b-\frac12\right)^2+\frac{c^2}{3}=\frac14$. 三角形非退化要求 $C\ne O$，$B$，而在 $b=\frac12$、$c=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时三角形为正三角形，恰有 $F=H$，直线 $FH$ 不确定，所以还应去掉这四个点：$O=(0,0)$、$B=(1,0)$、$\left(\frac12,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\left(\frac12,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. \end{enumerate} \end{solution}