已知 $f(x)$ 是定义在 $(-3,3)$ 上的奇函数，当 $0<x<3$ 时，$f(x)$ 的图象如图所示，那么不等式 $f(x)\cos x<0$ 的解集是（ ）

\begin{solution} 由图可知，在 $0<x<3$ 时，$f(x)<0$ 于 $(0,1)$，$f(1)=0$，且 $f(x)>0$ 于 $(1,3)$. 又因 $f$ 为奇函数，$f(-x)=-f(x)$，而 $\cos(-x)=\cos x$. 在正半轴上，$\cos x>0$ 于 $(0,\frac\pi2)$，$\cos x<0$ 于 $(\frac\pi2,3)$. 所以正半轴上不等式成立的区间为 $(0,1)\cup(\frac\pi2,3)$，而在 $(1,\frac\pi2)$ 上乘积为正.

对负数 $x$，有 $f(x)\cos x=-f(-x)\cos(-x)$，故负半轴上乘积为负的区间正好是正半轴上乘积为正区间关于原点的对称区间，即 $(-\frac\pi2,-1)$. 因此解集为 选 B. \end{solution}

如图所示，$f_i(x)$（$i=1$，$2$，$3$，$4$）是定义在 $[0,1]$ 上的四个函数，其中满足性质：“对 $[0,1]$ 中任意的 $x_1$ 和 $x_2$，任意 $\lambda\in[0,1]$，$f_i[\lambda x_1+(1-\lambda)x_2]\le \lambda f_i(x_1)+(1-\lambda)f_i(x_2)$ 恒成立”的只有（ ）

\begin{solution} 题中的不等式是凸函数的定义不等式：函数图象应位于任意两点连线的下方. 由图可见，$f_{1}(x)$ 的图象为凸形，满足该不等式；$f_{2}(x)$ 的图象为向下弯曲，在内点处位于弦的上方，不满足；$f_{3}(x)$ 为直线，对任意 $x_{1}$，$x_{2}$，$\lambda$ 等号成立，满足；$f_{4}(x)$ 在定义区间内存在向下弯曲的部分，不满足. 所以满足条件的函数为 $f_{1}(x)$、$f_{3}(x)$，选 A. \end{solution}

解不等式 $\left|\sqrt{2x-1}-x\right|<2$.

\begin{solution} 由根式有意义知 $x\geqslant\frac{1}{2}$. 令 $t=\sqrt{2x-1}$，则 $t\geqslant0$，且 $x=\frac{t^{2}+1}{2}$. 原不等式化为 因此 $-1<t<3$. 结合 $t\geqslant0$，得 $0\leqslant t<3$，从而 所以不等式的解集为 $\left[\frac{1}{2},5\right)$. \end{solution}

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意的 $a$，$b\in\mathbf{R}$ 都满足：$f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$.

(1) 求 $f(0)$，$f(1)$ 的值； (2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明你的结论； (3) 若 $f(2)=2$，$u_n=\frac{f(2^{-n})}{n}$（$n\in\mathbf{N}$），求数列 $\{u_n\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在已知关系中取 $a=b=0$，得 $f(0)=0$. 再取 $a=b=1$，得 $f(1)=2f(1)$，所以 $f(1)=0$. \item 取 $a=b=-1$，由 $f(1)=0$ 得 故 $f(-1)=0$. 对任意 $x\in\mathbf{R}$，取 $a=-1$、$b=x$，则 所以 $f(x)$ 是奇函数. \item 先求正整数次幂处的函数值. 由 $f(1)=0$ 及 $f(2)=2$，对 $n\geqslant1$ 有 用归纳法可得 $f(2^n)=n2^n$：当 $n=0$ 时，等式为 $f(1)=0$；若 $f(2^{n-1})=(n-1)2^{n-1}$，则 再在已知关系中取 $a=2^n$、$b=2^{-n}$，利用 $f(1)=0$，得到 所以 $f(2^{-n})=-\frac{n}{2^n}$，从而 因此 \end{enumerate} \end{solution}