$64$ 个直径都为 $\frac{a}{4}$ 的球，记它们的体积之和为 $V_{\text{甲}}$，表面积之和为 $S_{\text{甲}}$；一个直径为 $a$ 的球，记其体积为 $V_{\text{乙}}$，表面积为 $S_{\text{乙}}$，则（ ）

\begin{solution} 球的体积与直径的三次方成正比，表面积与直径的平方成正比. 因此 故 $V_{\text{甲}}=V_{\text{乙}}$，且 $S_{\text{甲}}>S_{\text{乙}}$，选 C. \end{solution}

设命题甲：“直四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，平面 $ACB_{1}$ 与对角面 $BB_{1}D_{1}D$ 垂直”；命题乙：“直四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是正方体”，那么甲是乙的（ ）

\begin{solution} 先说明必要性. 若直四棱柱是正方体，设其棱长为 $a$，取 $A=(0,0,0)$，$B=(a,0,0)$，$C=(a,a,0)$，$D=(0,a,0)$. 再取 $B_{1}=(a,0,a)$，$D_{1}=(0,a,a)$. 平面 $ACB_{1}$ 内两条相交直线的方向向量可取 $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$、$\overrightarrow{AB_{1}}=(a,0,a)$，其法向量可取 $(1,-1,-1)$. 平面 $BB_{1}D_{1}D$ 内两条相交直线的方向向量可取 $\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)$、$\overrightarrow{BB_{1}}=(0,0,a)$，其法向量可取 $(1,1,0)$. 两法向量的内积为 $1-1+0=0$，故两平面垂直，所以甲是乙的必要条件.

再说明不充分性. 取底面为边长 $a$ 的正方形、高为任意 $h>0$ 且 $h\ne a$ 的直四棱柱，并仍取上述底面坐标，令 $B_{1}=(a,0,h)$，$D_{1}=(0,a,h)$. 此时平面 $ACB_{1}$ 与平面 $BB_{1}D_{1}D$ 的法向量可分别取为 $(ah,-ah,-a^{2})$ 与 $(1,1,0)$，二者内积为 $0$，所以甲成立；但由于 $h\ne a$，该棱柱不是正方体. 因此甲不是乙的充分条件，故选 C. \end{solution}

关于直角 $AOB$ 在平面 $\alpha$ 内的射影有如下判断：

① 可能是 $0^{\circ}$ 的角； ② 可能是锐角； ③ 可能是直角； ④ 可能是钝角； ⑤ 可能是 $180^{\circ}$ 的角

其中正确的序号是______.

\begin{solution} 取投影平面 $\alpha$ 为 $xy$ 平面，令 $O$ 为原点. 直角 $AOB$ 的两条射线方向向量内积为零；删去方向向量的第三个坐标，就得到两条射线在 $\alpha$ 内的射影. 下面分别构造题目所列的几种投影角.

取 $\overrightarrow{OA}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{OB}=(1,0,-1)$，两向量内积为 $1+0-1=0$，而两射影均为 $(1,0)$，故射影角可能为 $0^{\circ}$. 取 $\overrightarrow{OA}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{OB}=(1,1,-1)$，两向量内积仍为 $0$，两射影 $(1,0)$ 与 $(1,1)$ 的内积为 $1>0$，故射影角可能为锐角. 取 $\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,1,0)$，两向量内积为 $0$，两射影仍互相垂直，故射影角可能为直角. 取 $\overrightarrow{OA}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{OB}=(-1,1,1)$，两向量内积为 $-1+0+1=0$，两射影 $(1,0)$ 与 $(-1,1)$ 的内积为 $-1<0$，故射影角可能为钝角. 最后取 $\overrightarrow{OA}=(1,0,1)$，$\overrightarrow{OB}=(-1,0,1)$，两向量内积为 $-1+0+1=0$，而两射影 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$ 方向相反，故射影角可能为 $180^{\circ}$. 因此五项判断均正确，正确的序号为 $12345$. \end{solution}

如图，在多面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 $E$，$F$ 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为 $c$，$d$ 与 $a$，$b$，且 $a>c$，$b>d$，两底面间的距离为 $h$.

(1) 求侧面 $ABB_{1}A_{1}$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的大小； (2) 证明：$EF \parallel$ 平面 $ABCD$； (3) 在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式 $V_{\text{估}}=S_{\text{中截面}}\cdot h$ 来计算，已知它的体积公式是 $V=\frac{h}{6}(S_{\text{上底面}}+4S_{\text{中截面}}+S_{\text{下底面}})$，试判断 $V_{\text{估}}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明.

注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立直角坐标系，使下底面在 $z=0$ 平面内，并取 $A=(0,0,0)$，$B=(a,0,0)$，$C=(a,b,0)$，$D=(0,b,0)$. 设上底面的一个顶点为 $A_{1}=(u,v,h)$，则可写成 $B_{1}=(u+c,v,h)$，$C_{1}=(u+c,v+d,h)$，$D_{1}=(u,v+d,h)$. 侧面 $ABB_{1}A_{1}$ 与底面的二面角，在垂直于 $AB$ 的截面内对应于水平位移为 $v$、竖直位移为 $h$ 的直角三角形；相对侧面 $CDD_{1}C_{1}$ 与底面的二面角，在相应截面内的水平位移为 $b-v-d$. 两个二面角相等，且 $h>0$，所以 $\frac{h}{|v|}=\frac{h}{|b-v-d|}$，$v^{2}=(b-v-d)^{2}$. 由 $b>d$ 得 $v=\frac{b-d}{2}$. 对另一对相对侧面，侧面 $ADD_{1}A_{1}$ 与底面的二面角对应的水平位移为 $u$，侧面 $BCC_{1}B_{1}$ 与底面的二面角对应的水平位移为 $a-u-c$. 同样由二面角相等及 $a>c$，有 $\frac{h}{|u|}=\frac{h}{|a-u-c|}$，$u^{2}=(a-u-c)^{2}$， 从而 $u=\frac{a-c}{2}$. 因此在上述截面内，二面角记为 $\theta$，则 故 $\theta=\arctan\frac{2h}{b-d}$. \item 由图中相对的侧棱交于 $E$、$F$. 在平面 $ADD_{1}A_{1}$ 内，设 $E=A A_{1}\cap D D_{1}$，用同一参数表示两条侧棱上的点，有 两式的 $z$ 坐标相等，故交点对应同一个参数 $t$. 比较 $y$ 坐标并消去 $tv$，得 $t(b-d)=b$，所以 在平面 $BCC_{1}B_{1}$ 内，直线 $BB_{1}$、$CC_{1}$ 上同参数的点分别为 比较这两式的 $y$ 坐标，同样得到 $t(b-d)=b$，从而 于是 $E$、$F$ 位于同一个与底面平行的平面内，故 $EF\parallel$ 平面 $ABCD$. \item 中截面位于 $z=\frac{h}{2}$ 的平面内. 由上述坐标表示，截面的两条边分别是上下底面对应边长的平均值，即长、宽分别为 $\frac{a+c}{2}$、$\frac{b+d}{2}$. 因此 从而 代入已知体积公式，得 两者之差为 因为 $a>c$、$b>d$、$h>0$. 所以 $V_{\text{估}}<V$. \end{enumerate} \end{solution}