已知直线 $l: x + ay - 1 = 0$ （$a \in \mathbf{R}$）是圆 $C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ 的对称轴. 过点 $A(-4, a)$ 作圆 $C$ 的一条切线. 切点为 $B$，则 $|AB| =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 将圆方程配方得 所以圆心为 $O(2,1)$，半径为 $2$. 圆的对称轴必须经过圆心，将 $O$ 代入直线方程得 $2+a-1=0$，故 $a=-1$. 于是 $A(-4,-1)$，从而 在切点 $B$ 处，$OB\perp AB$，所以 故答案为 C. \end{solution}

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，过 $F$ 作 $AF$ 的垂线与双曲线交于 $B$，$C$ 两点，过 $B$，$C$ 分别作 $AC$，$AB$ 的垂线，两垂线交于点 $D$. 若 $D$ 到直线 $BC$ 的距离小于 $a + \sqrt{a^2 + b^2}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 记 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，则右焦点和右顶点分别为 $F(c,0)$、$A(a,0)$. 直线 $BC$ 为 $x=c$，由双曲线方程得交点的纵坐标满足 $\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$\Longrightarrow$，$y^2=\frac{b^4}{a^2}$. 取 $q=\frac{b^2}{a}>0$，于是 $B(c,q)$，$C(c,-q)$. 直线 $AC$ 的斜率为 $-\frac{q}{c-a}$，直线 $AB$ 的斜率为 $\frac{q}{c-a}$，其中 $c-a>0$. 因此过 $B$ 作 $AC$ 的垂线、过 $C$ 作 $AB$ 的垂线，交点 $D$ 满足 $y-q=\frac{c-a}{q}(x-c)$，$y+q=-\frac{c-a}{q}(x-c)$. 两式相加得 $y=0$，再代入任一式得 $x-c=-\frac{q^2}{c-a}$，所以 令 $t=\frac ca>1$，则 $\frac{b^2}{a^2}=t^2-1$，题设不等式化为 即 $1<t<\sqrt2$. 双曲线渐近线斜率为 $\pm\frac ba=\pm\sqrt{t^2-1}$，故其取值范围为 $(-1,0)\cup(0,1)$，答案为 A. \end{solution}

如图，圆 $O$ 的弦 $AB$，$CD$ 相交于点 $E$，过点 $A$ 作圆 $O$ 的切线与 $DC$ 的延长线交于点 $P$，若 $PA = 6$，$AE = 9$，$PC = 3$，$CE:ED = 2:1$，则 $BE =$______.

\begin{answer} $2$ \end{answer}

\begin{solution} 由切线与割线定理，$PA^2=PC\cdot PD$，所以 图中点的顺序为 $P$，$C$，$E$，$D$，故 $CD=PD-PC=9$. 由 $CE:ED=2:1$，得 $CE=6$，$ED=3$. 再由相交弦定理， 从而 \end{solution}

已知直线 $l$ 的参数方程为 （$t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho^2 \cos 2\theta = 4$ （$\rho > 0$，$\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}$），则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的极坐标为______.

\begin{answer} $(2,\pi)$ \end{answer}

\begin{solution} 由直线的参数方程，消去参数得 $y-x=2$，即 又因为 $\rho^2\cos2\theta=4$，所以 代入直线关系，得 $\rho(\sin\theta+\cos\theta)=-2$. 两式相加得 $2\rho\sin\theta=0$，由于 $\rho>0$ 且 $\frac{3\pi}{4}<\theta<\frac{5\pi}{4}$，故 $\theta=\pi$，再由直线关系得 $\rho=2$. 所以交点的极坐标为 $(2,\pi)$. \end{solution}

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，过 $F_2$ 的直线交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，且 $PQ \perp PF_1$.

(1) 若 $|PF_1| = 2 + \sqrt{2}$，$|PF_2| = 2 - \sqrt{2}$，求椭圆标准方程； (2) 若 $|PF_1| = |PQ|$，求椭圆的离心率 $e$.