若 $\tan \alpha = 2\tan \frac{\pi}{5}$，则 $\frac{\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{5}\right)} =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 记 $\beta=\frac\pi5$，则 $\frac{3\pi}{10}=\frac\pi2-\beta$. 利用 $\tan\alpha=2\tan\beta$ 及两角和差公式，得 又因为 $\sin\alpha=2\tan\beta\cos\alpha$，所以 $\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)=3\sin\beta\cos\alpha$，$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\beta\cos\alpha$. 分母不为零，故所求比值为 $3$，答案为 C. \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，$B = 120^{\circ}$，$AB = \sqrt{2}$，$A$ 的角平分线 $AD = \sqrt{3}$，则 $AC =$______.

\begin{answer} $\sqrt{6}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $AC=\sqrt2u$，$BC=\sqrt2v$，其中 $u$，$v>0$. 由 $\angle B=120^\circ$ 及余弦定理， 由角平分线长公式 得 利用 $v^2=u^2-v-1$ 化简上式，得 $2uv=-u^2+2u+3$，$\qquad v=\frac{-u^2+2u+3}{2u}$. 将此式代入 $u^2=v^2+v+1$，并通分化简得 由于 $u>0$，且 $u+1\ne0$，所以 $u^2=3$，从而 $u=\sqrt3$. 此时由前式得 $v=1>0$，满足三角形条件，故 $AC=\sqrt2u=\sqrt6$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \sin x - \sqrt{3} \cos^2 x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$ 上的单调性.