设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $(|PF_{1}| - |PF_{2}|)^{2} = b^{2} - 3ab$，则该双曲线的离心率为（ ）

已知直线 $x - y + a = 0$ 与圆心为 $C$ 的圆 $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 4 = 0$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且 $AC \perp BC$，则实数 $a$ 的值为______.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，点 $D$ 在椭圆上，$DF_1 \perp F_1F_2$，$\frac{|F_1F_2|}{|DF_1|} = 2\sqrt{2}$，$\triangle DF_1F_2$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.