将函数 $f(x) = \sin (\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$-\frac{\pi}{2} \leqslant \varphi < \frac{\pi}{2}$）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到 $y = \sin x$ 的图象，则 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) =$______.

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $a + b + c = 8$.

(1) 若 $a = 2$，$b = \frac{5}{2}$，求 $\cos C$ 的值； (2) 若 $\sin A \cos^2 \frac{B}{2} + \sin B \cos^2 \frac{A}{2} = 2 \sin C$，且 $\triangle ABC$ 的面积 $S = \frac{9}{2} \sin C$，求 $a$ 和 $b$ 的值.