若 $z$ 是实系数方程 $x^{2} + 2x + p = 0$ 的一个虚根，且 $|z| = 2$，则 $p =$______.

若函数 $f(x) = (x + a)(bx + 2a)$ （常数 $a$，$b \in \mathbf{R}$）是偶函数，且它的值域为 $\left(-\infty, 4\right]$，则该函数的解析式 $f(x)=$______.

在平面直角坐标系中，点 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $(0,1)$，$(4,2)$，$(2,6)$. 如果 $P(x,y)$ 是 $\triangle ABC$ 围成的区域（含边界）上的点，那么当 $w = xy$ 取到最大值时，点 $P$ 的坐标是______.

如图，在平面直角坐标系中，$\Omega$ 是一个与 $x$ 轴的正半轴，$y$ 轴的正半轴分别相切于点 $C$，$D$ 的定圆所围成区域（含边界），$A$，$B$，$C$，$D$ 是该圆的四等分点. 若点 $P(x, y)$，点 $P'(x', y')$ 满足 $x \leqslant x'$ 且 $y \geqslant y'$，则称 $P$ 优于 $P'$. 如果 $\Omega$ 中的点 $Q$ 满足：不存在 $\Omega$ 中的其它点优于 $Q$，那么所有这样的点 $Q$ 组成的集合是劣弧（ ）

已知函数 $f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}$.

(1) 若 $f(x) = 2$，求 $x$ 的值； (2) 若 $2^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0$ 对于 $t \in \left[1,2\right]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1$.

(1) 求双曲线 $C$ 的渐近线方程； (2) 已知点 $M$ 的坐标为 $(0,1)$. 设 $P$ 是双曲线 $C$ 上的点，$Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点. 记 $\lambda = \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MQ}$，求 $\lambda$ 的取值范围； (3) 已知点 $D$，$E$，$M$ 的坐标分别为 $(-2, -1)$，$(2, -1)$，$(0, 1)$，$P$ 为双曲线 $C$ 上在第一象限内的点. 记 $l$ 为经过原点与点 $P$ 的直线，$s$ 为 $\triangle DEM$ 截直线 $l$ 所得线段的长. 试将 $s$ 表示为直线 $l$ 的斜率 $k$ 的函数.