设函数 $f(x) = ax + \frac{1}{x + b}$（$a$，$b \in \mathbf{Z}$），曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y = 3$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式； (2) 证明：函数 $y = f(x)$ 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； (3) 证明：曲线 $y = f(x)$ 上任一点的切线与直线 $x = 1$ 和直线 $y = x$ 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因切线方程为 $y=3$，切点为 $\left(2,3\right)$，故 $f(2)=3$，且 $f'(2)=0$. 由 得 $a=\frac{1}{\left(b+2\right)^2}$. 令整数 $t=b+2$，则 $a=\frac{1}{t^2}$ 为整数，所以 $t=\pm1$，且 $a=1$. 再由 $f(2)=2+\frac{1}{t}=3$，得 $t=1$，即 $b=-1$. 因而 $f(x)=x+\frac{1}{x-1}$，$x\ne1$. \item 对任意 $x\ne1$，令 $u=x-1$，则 当点 $\left(x,f(x)\right)$ 关于 $\left(1,1\right)$ 中心对称后变为 $\left(2-x,2-f(x)\right)$，而 所以对称点仍在曲线上，函数图象是中心对称图形，对称中心为 $\left(1,1\right)$. \item 设曲线上任一点为 $P\left(1+u,1+u+\frac1u\right)$，其中 $u\ne0$. 此点处切线斜率为 切线与直线 $x=1$ 的交点为 与直线 $y=x$ 的交点为 两条固定直线的交点为 $E=\left(1,1\right)$. 因此 $EC=\frac2{|u|}$，点 $D$ 到直线 $x=1$ 的距离为 $2|u|$，三角形 $ECD$ 的面积为 故该三角形面积恒为 $2$. \end{enumerate} \end{solution}