由直线 $x = \frac{1}{2}$，$x = 2$，曲线 $y = \frac{1}{x}$ 及 $x$ 轴所围图形的面积为（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 在区间 $\left[\frac12,2\right]$ 上，曲线 $y=\frac1x$ 位于 $x$ 轴上方，所围面积为 故选 D. \end{solution}

在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C_1$：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$F_2$ 也是抛物线 $C_2$：$y^2 = 4x$ 的焦点，点 $M$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $|MF_2| = \frac{5}{3}$.

(1) 求 $C_1$ 的方程； (2) 平面上的点 $N$ 满足 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MF_1} + \overrightarrow{MF_2}$，直线 $l\parallel MN$，且与 $C_1$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，求直线 $l$ 的方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点为 $F_2\left(1,0\right)$. 设 $M=(x_M,y_M)$，因 $M$ 在第一象限且在 $C_2$ 上，有 $y_M^2=4x_M$. 于是 由 $|MF_2|=\frac53$，得 $x_M=\frac23$，再得 $y_M=\frac{2\sqrt6}{3}$. 椭圆的左焦点为 $F_1=(-1,0)$，并且 所以椭圆的长轴长 $2a=|MF_1|+|MF_2|=4$，即 $a=2$. 又焦半距 $c=1$，故 $b^2=a^2-c^2=3$，从而 \item 由焦点坐标关于原点对称，$\overrightarrow{MF_1}+\overrightarrow{MF_2}=-2\overrightarrow{OM}$，所以 $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{OM}$，从而 $N=-M$. 因此直线 $l\parallel MN$ 的斜率为 可设 $l:y=\sqrt6x+r$. 设其与椭圆交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，代入椭圆方程得 故由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{8\sqrt6 r}{27}$，$x_1x_2=\frac{4r^2}{27}-\frac49$. 条件 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ 给出 代入上式，得 $\frac{7r^2}{27}-\frac{28}{9}=0$，所以 $r^2=12$，即 $r=\pm2\sqrt3$. 因而 \end{enumerate} \end{solution}

设函数 $f(x) = ax + \frac{1}{x + b}$（$a$，$b \in \mathbf{Z}$），曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程为 $y = 3$.

(1) 求 $f(x)$ 的解析式； (2) 证明：函数 $y = f(x)$ 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； (3) 证明：曲线 $y = f(x)$ 上任一点的切线与直线 $x = 1$ 和直线 $y = x$ 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因切线方程为 $y=3$，切点为 $\left(2,3\right)$，故 $f(2)=3$，且 $f'(2)=0$. 由 得 $a=\frac{1}{\left(b+2\right)^2}$. 令整数 $t=b+2$，则 $a=\frac{1}{t^2}$ 为整数，所以 $t=\pm1$，且 $a=1$. 再由 $f(2)=2+\frac{1}{t}=3$，得 $t=1$，即 $b=-1$. 因而 $f(x)=x+\frac{1}{x-1}$，$x\ne1$. \item 对任意 $x\ne1$，令 $u=x-1$，则 当点 $\left(x,f(x)\right)$ 关于 $\left(1,1\right)$ 中心对称后变为 $\left(2-x,2-f(x)\right)$，而 所以对称点仍在曲线上，函数图象是中心对称图形，对称中心为 $\left(1,1\right)$. \item 设曲线上任一点为 $P\left(1+u,1+u+\frac1u\right)$，其中 $u\ne0$. 此点处切线斜率为 切线与直线 $x=1$ 的交点为 与直线 $y=x$ 的交点为 两条固定直线的交点为 $E=\left(1,1\right)$. 因此 $EC=\frac2{|u|}$，点 $D$ 到直线 $x=1$ 的距离为 $2|u|$，三角形 $ECD$ 的面积为 故该三角形面积恒为 $2$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = |x - 8| - |x - 4|$.

(1) 作出函数 $y = f(x)$ 的图象； (2) 解不等式 $|x - 8| - |x - 4| > 2$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 按绝对值定义分三种情况： 所以函数图象由直线 $y=4$ 在 $x\le4$ 上的部分、连接点 $\left(4,4\right)$ 与 $\left(8,-4\right)$ 的线段 $y=-2x+12$，以及直线 $y=-4$ 在 $x>8$ 上的部分组成. 以 $\left(4,4\right)$、$\left(8,-4\right)$ 为转折点即可在题图坐标系中作出图象. \item 同样分情况讨论. 当 $x\le4$ 时，$f(x)=4>2$，所以得到 $x\le4$. 当 $4<x\le8$ 时， 与本区间合并得 $4<x<5$. 当 $x>8$ 时，$f(x)=-4$，不满足不等式. 因而解集为 \end{enumerate} \end{solution}