已知 $a_{1} > a_{2} > a_{3} > 0$，则使得 $(1 - a_{i}x)^{2} < 1$（$i = 1$，$2$，$3$）都成立的 $x$ 取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 对任意 $i\in\{1,2,3\}$，有 因为 $a_i>0$，所以该不等式等价于 $0<x<\frac{2}{a_i}$. 三个不等式同时成立时，$x$ 必须属于这些区间的交集；又因 $a_1>a_2>a_3>0$，有 $\frac{2}{a_1}<\frac{2}{a_2}<\frac{2}{a_3}$，故交集为 $\left(0,\frac{2}{a_1}\right)$. 故选 B. \end{solution}

某几何体的一条棱长为 $\sqrt{7}$，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 $\sqrt{6}$ 的线段. 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 $a$ 和 $b$ 的线段，则 $a + b$ 的最大值为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 把这条棱在三个互相垂直方向上的分量平方分别记为 $u$、$v$、$w$. 棱长为 $\sqrt7$，所以 $u+v+w=7$. 正视图中的投影长为 $\sqrt6$，说明其中两个方向的分量平方之和为 $6$，另一个分量平方为 $1$. 设前者为 $u$，$v$，则 $u+v=6$，且两个另外的正投影长度分别为 $a=\sqrt{u+1}$，$b=\sqrt{v+1}$ （交换 $u$，$v$ 不影响结论）. 由均方不等式， 当且仅当 $u=v=3$ 时取等号，因此 $a+b$ 的最大值为 $4$，故选 C. \end{solution}

已知函数 $f(x) = |x - 8| - |x - 4|$.

(1) 作出函数 $y = f(x)$ 的图象； (2) 解不等式 $|x - 8| - |x - 4| > 2$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 按绝对值定义分三种情况： 所以函数图象由直线 $y=4$ 在 $x\le4$ 上的部分、连接点 $\left(4,4\right)$ 与 $\left(8,-4\right)$ 的线段 $y=-2x+12$，以及直线 $y=-4$ 在 $x>8$ 上的部分组成. 以 $\left(4,4\right)$、$\left(8,-4\right)$ 为转折点即可在题图坐标系中作出图象. \item 同样分情况讨论. 当 $x\le4$ 时，$f(x)=4>2$，所以得到 $x\le4$. 当 $4<x\le8$ 时， 与本区间合并得 $4<x<5$. 当 $x>8$ 时，$f(x)=-4$，不满足不等式. 因而解集为 \end{enumerate} \end{solution}