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16概率与统计★★☆☆☆
从甲，乙两品种的棉花中各抽测了 25 根25\text{ 根} 棉花的纤维长度（单位：mm\mathrm{mm}），结果如下：
\begin{array}{c} \hline 品种 & \multicolumn{5}{c}{纤维长度（单位：$\mathrm{mm}$）} \\ \hline 甲品种 & $271$ & $273$ & $280$ & $285$ & $285$ \\ & $287$ & $292$ & $294$ & $295$ & $301$ \\ & $303$ & $303$ & $307$ & $308$ & $310$ \\ & $314$ & $319$ & $323$ & $325$ & $325$ \\ & $328$ & $331$ & $334$ & $337$ & $352$ \\ \hline 乙品种 & $284$ & $292$ & $295$ & $304$ & $306$ \\ & $307$ & $312$ & $313$ & $315$ & $315$ \\ & $316$ & $318$ & $318$ & $320$ & $322$ \\ & $322$ & $324$ & $327$ & $329$ & $331$ \\ & $333$ & $336$ & $337$ & $343$ & $356$ \\ \hline \end{array}
由以上数据设计了如下茎叶图：
\begin{array}{c} \multicolumn{5}{c|}{甲} & & \multicolumn{7}{c}{乙} \\ \hline & & & $3$ & $1$ & $27$ & & & & & & & \\ & $7$ & $5$ & $5$ & $0$ & $28$ & $4$ & & & & & & \\ & & $5$ & $4$ & $2$ & $29$ & $2$ & $5$ & & & & & \\ $8$ & $7$ & $3$ & $3$ & $1$ & $30$ & $4$ & $6$ & $7$ & & & & \\ & & $9$ & $4$ & $0$ & $31$ & $2$ & $3$ & $5$ & $5$ & $6$ & $8$ & $8$ \\ & $8$ & $5$ & $5$ & $3$ & $32$ & $0$ & $2$ & $2$ & $4$ & $7$ & $9$ & \\ & & $7$ & $4$ & $1$ & $33$ & $1$ & $3$ & $6$ & $7$ & & & \\ & & & & & $34$ & $3$ & & & & & & \\ & & & & $2$ & $35$ & $6$ & & & & & & \\ \end{array}
根据以上茎叶图，对甲，乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
① ______； ② ______.
\begin{answer} 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. \end{answer}
\begin{solution} 由原始数据求和，甲、乙两品种的纤维长度总和分别为 76827682 和 79757975，故样本平均数分别为 xˉ甲=768225=307.28\bar x_{\text{甲}}=\frac{7682}{25}=307.28，xˉ乙=797525=319\bar x_{\text{乙}}=\frac{7975}{25}=319. 所以乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种. 再以极差衡量离散程度，甲、乙两品种的极差分别为 352−271=81352-271=81，356−284=72356-284=72. 因此甲品种棉花的纤维长度比乙品种的更分散. 例如可写出两个统计结论：乙品种的平均纤维长度较大；甲品种的纤维长度较分散. \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
AA，BB 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1X_{1} 和 X2X_{2}. 根据市场分析，X1X_{1} 和 X2X_{2} 的分布列分别为
(1) 在 AA，BB 两个项目上各投资 100 万元100\text{ 万元}，Y1Y_{1} 和 Y2Y_{2} 分别表示投资项目 AA 和 BB 所获得的利润，求方差 D(Y1)D(Y_1)，D(Y2)D(Y_2)； (2) 将 x 万元x\text{ 万元}（0⩽x⩽1000 \leqslant x \leqslant 100）投资 AA 项目，(100−x) 万元(100-x)\text{ 万元}投资 BB 项目，f(x)f(x) 表示投资 AA 项目所得利润的方差与投资 BB 项目所得利润的方差的和. 求 f(x)f(x) 的最小值，并指出 xx 为何值时，f(x)f(x) 取到最小值.（注：D(aX+b)=a2D(X)D(aX+b)=a^{2}D(X)）
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将百分数按小数表示，则
E(X1)=0.05×0.8+0.10×0.2=0.06E(X_1)=0.05\times0.8+0.10\times0.2=0.06
D(X1)=0.8(0.05−0.06)2+0.2(0.10−0.06)2=0.0004D(X_1)=0.8\left(0.05-0.06\right)^2+0.2\left(0.10-0.06\right)^2=0.0004
由于 Y1=100X1Y_1=100X_1，所以
D(Y1)=1002D(X1)=4D(Y_1)=100^2D(X_1)=4
对第二个项目，
E(X2)=0.02×0.2+0.08×0.5+0.12×0.3=0.08E(X_2)=0.02\times0.2+0.08\times0.5+0.12\times0.3=0.08
D(X2)=0.2(0.02−0.08)2+0.5(0.08−0.08)2+0.3(0.12−0.08)2=0.0012D(X_2)=0.2\left(0.02-0.08\right)^2+0.5\left(0.08-0.08\right)^2+0.3\left(0.12-0.08\right)^2=0.0012
由于 Y2=100X2Y_2=100X_2，所以 D(Y2)=1002D(X2)=12D(Y_2)=100^2D(X_2)=12. \item 投资 AA 项目 xx 万元、投资 BB 项目 100−x100-x 万元时，两项投资所得利润的方差分别为 x2D(X1)x^2D(X_1) 与 (100−x)2D(X2)(100-x)^2D(X_2). 因而
f(x)=0.0004x2+0.0012(100−x)2=x2+3(100−x)22500f(x)=0.0004x^2+0.0012(100-x)^2 =\frac{x^2+3(100-x)^2}{2500}
整理得
f(x)=4(x−75)2+75002500=(x−75)2625+3f(x)=\frac{4(x-75)^2+7500}{2500}=\frac{(x-75)^2}{625}+3
在 0≤x≤1000\le x\le100 时，(x−75)2≥0(x-75)^2\ge0，所以 f(x)f(x) 的最小值为 33，且当 x=75x=75 时取得. \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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