某几何体的一条棱长为 $\sqrt{7}$，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 $\sqrt{6}$ 的线段. 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 $a$ 和 $b$ 的线段，则 $a + b$ 的最大值为（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 把这条棱在三个互相垂直方向上的分量平方分别记为 $u$、$v$、$w$. 棱长为 $\sqrt7$，所以 $u+v+w=7$. 正视图中的投影长为 $\sqrt6$，说明其中两个方向的分量平方之和为 $6$，另一个分量平方为 $1$. 设前者为 $u$，$v$，则 $u+v=6$，且两个另外的正投影长度分别为 $a=\sqrt{u+1}$，$b=\sqrt{v+1}$ （交换 $u$，$v$ 不影响结论）. 由均方不等式， 当且仅当 $u=v=3$ 时取等号，因此 $a+b$ 的最大值为 $4$，故选 C. \end{solution}

已知向量 $\boldsymbol{a} = (0, -1, 1)$，$\boldsymbol{b} = (4, 1, 0)$，$|\lambda \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{29}$ 且 $\lambda > 0$，则 $\lambda =$______. \begin{answer} 3 \end{answer}

\begin{solution} 由向量坐标， 由长度条件得 即 $\lambda^2-\lambda-6=0$，所以 $\lambda=3$ 或 $\lambda=-2$. 因为 $\lambda>0$，故 $\lambda=3$. \end{solution}

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 $\frac{9}{8}$，底面周长为 $3$，则这个球的体积为______. \begin{answer} $\frac{4\pi}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 设正六边形边长为 $s$，六棱柱高为 $h$. 由底面周长为 $3$，得 $s=\frac12$. 正六边形面积为 由体积条件 $Sh=\frac98$，得 $h=\sqrt3$. 正六边形的外接圆半径等于边长，所以球心位于两底面中心连线的中点，球半径满足 故球的体积为 \end{solution}

如图，已知点 $P$ 在正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 的对角线 $BD'$ 上，$\angle PDA = 60^\circ$.

(1) 求 $DP$ 与 $CC'$ 所成角的大小； (2) 求 $DP$ 与平面 $A^{\prime}AD^{\prime}D$ 所成角的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设正方体棱长为 $a$，建立直角坐标系 $A\left(0,0,0\right)$，$\ B\left(a,0,0\right)$，$\ D\left(0,a,0\right)$，$\ D'\left(0,a,a\right)$. 令 $P$ 将 $BD'$ 按参数 $t$ 表示为 $P=\left(a\left(1-t\right),at,at\right)$，$0\le t\le1$. 于是 $\overrightarrow{DP}=a\left(1-t,-(1-t),t\right)$，$\overrightarrow{DA}=a\left(0,-1,0\right)$. 由 $\angle PDA=60^{\circ}$，得 所以 $t^2=2\left(1-t\right)^2$，从而 $t=\sqrt2\left(1-t\right)$. 又 因此 故 $DP$ 与 $CC'$ 所成角为 $45^{\circ}$. \item 平面 $A'AD'D$ 的方程为 $x=0$，其法向量沿 $x$ 轴. 设 $DP$ 与该平面所成角为 $\alpha$，则 因为 $0\le\alpha\le90^{\circ}$，所以 $\alpha=30^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}