已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左焦点为 $F$，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4a}$ 的直线交双曲线于点 $A(x_1,y_1)$，交双曲线的渐近线于点 $B(x_2,y_2)$，且 $x_1<0<x_2$. 若 $|FB|=3|FA|$，则双曲线的离心率是______.

如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$. 设 $A$，$B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0,\frac12\right)$ 在线段 $AB$ 上，直线 $PA$，$PB$ 分别交直线 $y=-\frac12x+3$ 于 $C$，$D$ 两点.

(1) 求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值； (2) 求 $|CD|$ 的最小值.