如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 设三次函数为 $f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$. 由图可知曲线在 $O(0,0)$ 处与直线 $y=-x$ 相切，在 $(2,0)$ 处与直线 $y=3x-6$ 相切，所以 $f(0)=0$，$f'(0)=-1$，$f(2)=0$，$f'(2)=3$. 于是 $D=0$，$C=-1$，并且 $8A+4B-2=0$，$12A+4B-1=3$，即 $4A+2B=1$，$3A+B=1$. 解得 $A=\frac12$，$B=-\frac12$. 因此 $f(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-x$. 所以选 A. \end{solution}

设函数 $f(x) = \ln x + \frac{m}{x}$，$m \in \mathbf{R}$.

(1) 当 $m = \mathrm{e}$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）时，求 $f(x)$ 的极小值； (2) 讨论函数 $g(x) = f'(x) - \frac{x}{3}$ 零点的个数； (3) 若对任意 $b > a > 0$，$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} < 1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $m=\mathrm{e}$ 时，$x>0$，且 因此 $f'(x)<0$ 在 $(0,\mathrm{e})$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(\mathrm{e},+\infty)$ 上成立，故 $x=\mathrm{e}$ 处取得极小值. 其值为

\item $x>0$ 时 由于 $3x^2>0$，$g(x)=0$ 等价于 又 所以 $\varphi$ 在 $(0,1)$ 上递增，在 $(1,+\infty)$ 上递减，且 $\varphi(0^+)=0$，$\varphi(1)=\frac23$，$\varphi(x)\to-\infty$（$x\to+\infty$）. 因此，当 $m>\frac23$ 时有 $0$ 个零点；当 $m=\frac23$ 或 $m\leqslant0$ 时有 $1$ 个零点；当 $0<m<\frac23$ 时有 $2$ 个零点. \item 令 $h(x)=f(x)-x$. 题设不等式等价于对任意 $b>a>0$ 有 $h(b)<h(a)$，即 $h$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递减. 求导得 当 $m\geqslant\frac14$ 时， 所以 $h'(x)\leqslant0$，且至多在一个点取零. 对任意 $b>a>0$，$h(b)-h(a)=\int_a^b h'(x)\,\mathrm dx<0$，故 $h$ 严格递减，题设成立.

当 $m<\frac14$ 时，$x^2-x+m$ 在 $x=\frac12$ 处为负，故在该点附近 $h'(x)>0$，可以取 $b>a>0$ 使 $h(b)>h(a)$，题设不成立. 因此 \end{enumerate} \end{solution}