设 $a$，$b$，$m$，$n \in \mathbf{R}$，且 $a^2 + b^2 = 5$，$ma + nb = 5$，则 $\sqrt{m^{2} + n^{2}}$ 的最小值为______. \begin{answer} $\sqrt{5}$ \end{answer} \begin{solution} 由柯西不等式， 所以 $\sqrt{m^2+n^2}\geqslant\sqrt5$. 当 $m=a$，$n=b$ 时，题设两式均成立，且 $\sqrt{m^2+n^2}=\sqrt5$，故最小值为 $\sqrt5$. \end{solution}