根据如图所示的框图，对大于 2 的整数 $N$，输出的数列的通项公式是（ ）

\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 程序开始时 $S=1$，每次循环先计算 $a_i=2S$，再令 $S=a_i$，因此每次循环都使 $S$ 变为原来的 $2$ 倍. 第一次循环得到 $a_1=2=2^1$. 若第 $k$ 次循环前 $S=2^{k-1}$，则第 $k$ 次循环得到 $a_k=2S=2^k$. 由数学归纳法，输出数列的通项为 $a_n=2^n$. 因此选 C. \end{solution}

原命题为“若 $\frac{a_n + a_{n+1}}{2} < a_n$，$n \in \mathbf{N}_+$，则 $\{a_n\}$ 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 记命题的前件为 $P$，后件为 $Q$，其中 $P$ 表示对任意 $n\in\mathbf N_+$ 有 $\frac{a_n+a_{n+1}}2<a_n$，$Q$ 表示数列 $\{a_n\}$ 为递减数列. 由 $\frac{a_n+a_{n+1}}2<a_n$ 可得 $a_{n+1}<a_n$，反过来也成立，所以 $P$ 与 $Q$ 等价. 因此原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真，所求判断为“真，真，真”，选 A. \end{solution}

已知 $f(x) = \frac{x}{1 + x}$，$x \geqslant 0$，若 $f_1(x) = f(x)$，$f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$，$n \in \mathbf{N}_+$，则 $f_{2014}(x)$ 的表达式为______. \begin{answer} $\frac{x}{2014x+1}$ \end{answer} \begin{solution} 先证明 $f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$. 由于 $x\geqslant0$ 且 $n\in\mathbf N_+$，有 $1+nx>0$，所以各步分式均有意义. 当 $n=1$ 时，$f_1(x)=f(x)=\frac{x}{1+x}$，结论成立. 若 $f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$，则 由数学归纳法，$f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$ 对一切 $n\in\mathbf N_+$ 成立. 因此 \end{solution}

$\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$.

(1) 若 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，证明：$\sin A + \sin C = 2\sin (A + C)$； (2) 若 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，且 $c = 2a$，求 $\cos B$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，存在 $k>0$ 使 $a=k\sin A$，$b=k\sin B$，$c=k\sin C$. 因为 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，所以 $a+c=2b$，从而 $\sin A+\sin C=2\sin B$. 又 $A+B+C=\pi$，故 $\sin B=\sin(A+C)$，所以 $\sin A+\sin C=2\sin(A+C)$.

\item 因为 $a$，$b$，$c$ 为三角形的边，均为正数. 设等比数列公比为 $q>0$，则 $b=aq$，$c=aq^2$. 由 $c=2a$ 得 $q^2=2$，所以 $b=\sqrt2a$，$c=2a$. 在三角形 $ABC$ 中对角 $B$ 使用余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. 代入边长关系得 $2a^2=a^2+4a^2-4a^2\cos B$，所以 $\cos B=\frac34$. \end{enumerate} \end{solution}