设 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$，向量 $\boldsymbol{a} = (\sin 2\theta, \cos \theta)$，$\boldsymbol{b} = (1, -\cos \theta)$，若 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$，则 $\tan \theta =$______. \begin{answer} $\frac{1}{2}$ \end{answer} \begin{solution} 由向量数量积为零，得 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\sin 2\theta-\cos^2\theta=0$. 利用 $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，有 $\cos\theta(2\sin\theta-\cos\theta)=0$. 因为 $0<\theta<\frac\pi2$，所以 $\cos\theta>0$，从而 $2\sin\theta=\cos\theta$，即 $\tan\theta=\frac12$. \end{solution}

在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(1,1)$，$B(2,3)$，$C(3,2)$. 点 $P(x,y)$ 在 $\triangle ABC$ 三边围成的区域（含边界）上，且 $\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$ （$m$，$n \in \mathbf{R}$）.

(1) 若 $m = n = \frac{2}{3}$，求 $\left|\overrightarrow{OP}\right|$. (2) 用 $x$，$y$ 表示 $m - n$，并求 $m - n$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,1)$. 当 $m=n=\frac23$ 时， 所以 $\left|\overrightarrow{OP}\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$.

\item 由 两式相减得 $m-n=y-x$. 设 $P$ 在三角形 $ABC$ 内的重心坐标为 $P=\alpha A+\beta B+\gamma C$，其中 $\alpha+\beta+\gamma=1$，且 $\alpha$，$\beta$，$\gamma\geqslant0$. 在三个顶点处，$y-x$ 的值分别为 $0$，$1$，$-1$，所以 当 $P=B$ 时取等号，故 $m-n$ 的最大值为 $1$. \end{enumerate} \end{solution}