以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示.

(1) 如果 $X = 8$，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2) 如果 $X = 9$，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 $Y$ 的分布列和数学期望.

（注：方差 $s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2\right]$，其中 $\bar{x}$ 为 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的平均数）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $X=8$ 时，乙组数据为 $8$，$8$，$9$，$10$，所以平均数为 $\bar{x}=\dfrac{8+8+9+10}{4}=\dfrac{35}{4}$. 由题给方差定义， $s^2=\dfrac14\left[2\left(8-\dfrac{35}{4}\right)^2+\left(9-\dfrac{35}{4}\right)^2+\left(10-\dfrac{35}{4}\right)^2\right]=\dfrac14\cdot\dfrac{44}{16}=\dfrac{11}{16}$. \item 当 $X=9$ 时，甲组数据为 $9$，$9$，$11$，$11$，乙组数据为 $8$，$9$，$9$，$10$. 两组各随机选取一人，所有 $4\times4=16$ 个结果等可能. 甲组选出两个 $9$ 与乙组选出 $8$ 时，$Y=17$，共有 $2\times1=2$ 个结果；甲组选出两个 $9$ 与乙组选出两个 $9$ 时，$Y=18$，共有 $2\times2=4$ 个结果；甲组选出两个 $9$ 与乙组选出 $10$，或甲组选出两个 $11$ 与乙组选出 $8$ 时，$Y=19$，共有 $2\times1+2\times1=4$ 个结果；甲组选出两个 $11$ 与乙组选出两个 $9$ 时，$Y=20$，共有 $2\times2=4$ 个结果；甲组选出两个 $11$ 与乙组选出 $10$ 时，$Y=21$，共有 $2\times1=2$ 个结果. 因此 $P(Y=17)=\dfrac{2}{16}=\dfrac18$，$P(Y=18)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14$，$P(Y=19)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14$，$P(Y=20)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14$，$P(Y=21)=\dfrac{2}{16}=\dfrac18$. 所以 $E(Y)=17\cdot\dfrac18+18\cdot\dfrac14+19\cdot\dfrac14+20\cdot\dfrac14+21\cdot\dfrac18=19$. \end{enumerate} \end{solution}