在 $\triangle ABC$ 中，若 $b = 5$，$\angle B = \frac{\pi}{4}$，$\tan A = 2$，则 $\sin A=$______；$a=$______.

已知函数 $f(x) = 4\cos x\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 利用和角公式， $f(x)=4\cos x\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x+\dfrac12\cos x\right)-1=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$. 因为正弦函数的最小正周期为 $2\pi$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$. \item 令 $u=2x+\dfrac{\pi}{6}$. 当 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$u\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3}\right]$，且 $f(x)=2\sin u$. 区间包含 $u=\dfrac\pi2$，故最大值为 $2\sin\dfrac\pi2=2$. 端点处 $2\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=-1$，而另一端点值为 $2\sin\dfrac{2\pi}3=\sqrt3$，所以最小值为 $-1$. \end{enumerate} \end{solution}