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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={x∣−3<x<1}M=\{x\mid -3<x<1\}，N={x∣−1≤x<4}N=\{x\mid -1\le x<4\}，则 M∪N=M\cup N=（ ）
A.
{x∣−1≤x<1}\{x\mid -1\le x<1\}
B.
{x∣x>−3}\{x\mid x>-3\}
C.
{x∣−3<x<4}\{x\mid -3<x<4\}
D.
{x∣x<4}\{x\mid x<4\}

2024 · 北京 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
已知 zi=−1−i\frac{z}{\mathrm{i}}=-1-\mathrm{i}，则 z=z=（ ）
A.
−1−i-1-\mathrm{i}
B.
−1+i-1+\mathrm{i}
C.
1−i1-\mathrm{i}
D.
1+i1+\mathrm{i}

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03解析几何★☆☆☆☆
圆 x2+y2−2x+6y=0x^2+y^2-2x+6y=0 的圆心到直线 x−y+2=0x-y+2=0 的距离为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
33
D.
323\sqrt{2}

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x−x)4\left( x-\sqrt{x} \right)^4 的展开式中，x3x^3 的系数为（ ）
A.
66
B.
−6-6
C.
1212
D.
−12-12

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05平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是向量，则“(a+b)⋅(a−b)=0\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right)\cdot\left( \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right)=0”是“a=−b\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b} 或 a=b\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

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06三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=sin⁡ωxf(x)=\sin \omega x（ω>0\omega>0）. 已知 f(x1)=−1f(x_1)=-1，f(x2)=1f(x_2)=1，且 ∣x1−x2∣\lvert x_1-x_2\rvert 的最小值为 π2\frac{\pi}{2}，则 ω=\omega=（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
生物丰富度指数 d=S−1ln⁡Nd=\frac{S-1}{\ln N} 是河流水质的一个评价指标，其中 SS，NN 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数 dd 越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数 SS 没有变化，生物个体总数由 N1N_1 变为 N2N_2，生物丰富度指数由 2.12.1 提高到 3.153.15，则（ ）
A.
3N2=2N13N_2=2N_1
B.
2N2=3N12N_2=3N_1
C.
N22=N13N_2^2=N_1^3
D.
N23=N12N_2^3=N_1^2

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，底面 ABCDABCD 是边长为 4 的正方形，PA=PB=4PA=PB=4，PC=PD=22PC=PD=2\sqrt{2}，该棱锥的高为（ ）
A.
11
B.
22
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 (x1,y1)(x_1,y_1)，(x2,y2)(x_2,y_2) 是函数 y=2xy=2^x 的图象上两个不同的点，则（ ）
A.
log⁡2y1+y22<x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<\frac{x_1+x_2}{2}
B.
log⁡2y1+y22>x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}
C.
log⁡2y1+y22<x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<x_1+x_2
D.
log⁡2y1+y22>x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>x_1+x_2

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10集合与逻辑基础★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x), 1≤x≤2, 0≤t≤1}M=\left\{ (x,y)\mid y=x+t\left( x^2-x \right),\,1\le x\le 2,\,0\le t\le 1 \right\} 是平面直角坐标系中的点集. 设 dd 是 MM 中两点间距离的最大值，SS 是 MM 表示的图形的面积，则（ ）
A.
d=3d=3，S<1S<1
B.
d=3d=3，S>1S>1
C.
d=10d=\sqrt{10}，S<1S<1
D.
d=10d=\sqrt{10}，S>1S>1

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11解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=16xy^2=16x 的焦点坐标为______.

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12三角函数★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，角 α\alpha 与角 β\beta 均以 OxOx 为始边，它们的终边关于原点对称. 若 α∈[π6,π3]\alpha\in \left[ \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3} \right]，则 cos⁡β\cos \beta 的最大值为______.

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13解析几何★★★☆☆
若直线 y=k(x−3)y=k(x-3) 与双曲线 x24−y2=1\frac{x^2}{4}-y^2=1 只有一个公共点，则 kk 的一个取值为______.

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14立体几何初步★★☆☆☆
汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠，合，升，斗，斛五量合一的标准量器，其中升量器，斗量器，斛量器的形状均可视为圆柱. 若升，斗，斛量器的容积成公比为 10 的等比数列，底面直径依次为 65 mm65\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，325 mm325\mathrm{~mm}，且斛量器的高为 230 mm230\mathrm{~mm}，则斗量器的高为______ mm\mathrm{~mm}，升量器的高为______ mm\mathrm{~mm}.（不计量器的厚度）

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列. 记集合 M={k∣ak=bk, k∈N∗}M=\{k\mid a_k=b_k,\ k\in \mathbf{N}^*\}，给出下列 4 个结论：
① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列，则 MM 中最多有 1 个元素； ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列，则 MM 中最多有 2 个元素； ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，则 MM 中最多有 3 个元素； ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列，{bn}\{b_n\} 为递减数列，则 MM 中最多有 1 个元素.
其中正确结论的序号是______.

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，∠A\angle A 为钝角，a=7a=7，sin⁡2B=37bcos⁡B\sin 2B=\frac{\sqrt{3}}{7}b\cos B.
(1) 求 ∠A\angle A； (2) 从下列三个条件中选择一个作为已知，使得 △ABC\triangle ABC 存在，求 △ABC\triangle ABC 的面积.
① b=7b=7； ② cos⁡B=1314\cos B=\frac{13}{14}； ③ csin⁡A=532c\sin A=\frac{5\sqrt{3}}{2}.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，BC∥ADBC\parallel AD，AB=BC=1AB=BC=1，AD=3AD=3，点 EE 在 ADAD 上，且 PE⊥ADPE\perp AD，PE=DE=2PE=DE=2.
(1) 若 FF 为线段 PEPE 中点，求证：BF∥平面 PCDBF\parallel \text{平面 }PCD； (2) 若 AB⊥平面 PADAB\perp \text{平面 }PAD，求平面 PABPAB 与平面 PCDPCD 夹角的余弦值.

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18概率与统计★★★☆☆
某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
假设：一份保单的保费为 0.4 万元；前 3 次索赔时，保险公司每次赔偿 0.8 万元；第四次索赔时，保险公司赔偿 0.6 万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立. 用频率估计概率.
(1) 估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率； (2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i) 记 XX 为一份保单的毛利润，估计 E(X)E(X)； (ii) 如果无索赔的保单的保费减少 4%，有索赔的保单的保费增加 20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（1）中 E(X)E(X) 估计值的大小（结论不要求证明）.

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x)=x+k\ln(1+x)（k≠0k\ne 0），直线 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t))（t>0t>0）处的切线.
(1) 当 k=−1k=-1 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求证：ll 不经过点 (0,0)(0,0)； (3) 当 k=1k=1 时，设点 A(t,f(t))A(t,f(t))（t>0t>0），C(0,f(t))C(0,f(t))，O(0,0)O(0,0)，BB 为 ll 与 yy 轴的交点，S△ACOS_{\triangle ACO} 与 S△ABOS_{\triangle ABO} 分别表示 △ACO\triangle ACO 与 △ABO\triangle ABO 的面积. 是否存在点 AA 使得 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} 成立？若存在，这样的点 AA 有几个？
（参考数据：1.09<ln⁡3<1.101.09<\ln 3<1.10，1.60<ln⁡5<1.611.60<\ln 5<1.61，1.94<ln⁡7<1.951.94<\ln 7<1.95）

2024 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知集合
M={(i,j,k,w)|i∈{1,2}, j∈{3,4}, k∈{5,6},w∈{7,8}, 且 i+j+k+w 为偶数}M=\left\{(i,j,k,w)\middle|\begin{gathered}i\in\{1,2\},\ j\in\{3,4\},\ k\in\{5,6\},\\ w\in\{7,8\},\ \text{且 }i+j+k+w\ \text{为偶数}\end{gathered}\right\}
.
给定数列 A:a1A:a_1，a2a_2，⋯\cdots，a8a_8，和序列 Ω:T1\Omega:T_1，T2T_2，⋯\cdots，TsT_s，其中 Tt=(it,jt,kt,wt)∈MT_t=(i_t,j_t,k_t,w_t)\in M（t=1t=1，22，⋯\cdots，ss）. 对数列 AA 进行如下变换：将 AA 的第 i1i_1，j1j_1，k1k_1，w1w_1 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 T1(A)T_1(A)；将 T1(A)T_1(A) 的第 i2i_2，j2j_2，k2k_2，w2w_2 项均加 1，其余项不变，得到数列记作 T2T1(A)T_2T_1(A)；……；以此类推，得到 Ts⋯T2T1(A)T_s\cdots T_2T_1(A)，简记为 Ω(A)\Omega(A).
(1) 给定数列 A:1A:1，33，22，44，66，33，11，99 和序列 Ω:(1,3,5,7)\Omega:(1,3,5,7)，(2,4,6,8)(2,4,6,8)，(1,3,5,7)(1,3,5,7)，写出 Ω(A)\Omega(A)； (2) 是否存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 为 a1+2a_1+2，a2+6a_2+6，a3+4a_3+4，a4+2a_4+2，a5+8a_5+8，a6+2a_6+2，a7+4a_7+4，a8+4a_8+4？若存在，写出一个符合条件的 Ω\Omega；若不存在，请说明理由； (3) 若数列 AA 的各项均为正整数，且 a1+a3+a5+a7a_1+a_3+a_5+a_7 为偶数，求证：“存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8”.

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