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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 U={1,2,3,4,5}\mathcal U=\{1,2,3,4,5\}，A={1,3}A=\{1,3\}，B={2,3,5}B=\{2,3,5\}，则 U∖(A∪B)=\mathcal U\smallsetminus(A\cup B)=（ ）
A.
{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}
B.
{2,3,4}\{2,3,4\}
C.
{2,4}\{2,4\}
D.
{4}\{4\}

2025 · 天津 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 x∈Rx\in\mathbf{R}，则“x=0x=0”是“sin⁡2x=0\sin 2x=0”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

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03函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的图象如下，则 f(x)f(x) 的解析式可能为（ ）
A.
f(x)=x1−∣x∣f(x)=\frac{x}{1-|x|}
B.
f(x)=x∣x∣−1f(x)=\frac{x}{|x|-1}
C.
f(x)=∣x∣1−x2f(x)=\frac{|x|}{1-x^2}
D.
f(x)=∣x∣x2−1f(x)=\frac{|x|}{x^2-1}

2025 · 天津 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
若 mm 为直线，α\alpha，β\beta 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.
若 m∥αm\parallel \alpha，n⊂αn\subset \alpha，则 m∥nm\parallel n
B.
若 m⊥αm\perp\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
C.
若 m∥αm\parallel\alpha，m⊥βm\perp\beta，则 α⊥β\alpha\perp\beta
D.
若 m⊂αm\subset\alpha，α⊥β\alpha\perp\beta，则 m⊥βm\perp\beta

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05概率与统计★★☆☆☆
下列说法中错误的是（ ）
A.
若 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，则 P(X≤μ−σ)=P(X≥μ+σ)P(X\le\mu-\sigma)=P(X\ge\mu+\sigma)
B.
若 X∼N(1,22)X\sim N(1,2^2)，Y∼N(2,22)Y\sim N(2,2^2)，则 P(X<1)<P(Y<2)P(X<1)<P(Y<2)
C.
∣r∣|r| 越接近 1，相关性越强
D.
∣r∣|r| 越接近 0，相关性越弱

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06数列★★★☆☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 已知 Sn=−n2+8nS_n=-n^2+8n，则数列 {∣an∣}\{|a_n|\} 的前 12 项和为（ ）
A.
112
B.
48
C.
80
D.
64

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07函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=0.3x−xf(x)=0.3^x-\sqrt{x} 的零点所在区间是（ ）
A.
(0,0.3)(0,0.3)
B.
(0.3,0.5)(0.3,0.5)
C.
(0.5,1)(0.5,1)
D.
(1,2)(1,2)

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08三角函数★★★★☆
f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0，−π<φ<π-\pi<\varphi<\pi），在 [−5π12,π12]\left[-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}\right] 上单调递增，且 x=π12x=\frac{\pi}{12} 是它的一条对称轴，(π3,0)(\frac{\pi}{3},0) 是它的一个对称中心.
当 x∈[0,π2]x\in[0,\frac{\pi}{2}] 时，f(x)f(x) 的最小值为（ ）
A.
−32-\frac{\sqrt3}{2}
B.
−12-\frac12
C.
1
D.
0

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09解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，以右焦点 F2F_2 为焦点的抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）与双曲线在第一象限交于 PP，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=3∣F1F2∣|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|，则双曲线离心率 e=e=（ ）
A.
2
B.
5
C.
2+12\frac{\sqrt2+1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt5+1}{2}

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10复数★☆☆☆☆
已知 i\mathrm{i} 是虚数单位，则 ∣3+ii∣=‾\left|\frac{3+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}\right|=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (x−1)6(x-1)^6 的展开式中，x3x^3 项系数为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
l1:x−y+6=0l_1:x-y+6=0 与 xx 轴，yy 轴交点分别为 AA，BB，又与 (x+1)2+(y−3)2=r2(x+1)^2+(y-3)^2=r^2 交于 CC，DD，且 ∣AB∣=3∣CD∣|AB|=3|CD|，则 r=‾r=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
小桐一周跑 22 次，一次 55 圈或 66 圈. 第一次跑 55 圈或 66 圈概率各为 0.50.5；若第一次跑 55 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.40.4，0.60.6；若第一次跑 66 圈，则第二次分别跑 55 圈，66 圈的概率为 0.60.6，0.40.4. 则一周跑 1111 圈的概率为 ‾\underline{\hspace{2em}}；若一周至少跑 1111 圈为达标，则连续跑 44 周，记合格周数为 XX，则 E(X)=‾E(X)=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 为 ABAB 中点，CE→=13CD→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CD}，AC→=b\overrightarrow{AC}= \boldsymbol{b}，AB→=a\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}. 则 AE→=‾\overrightarrow{AE}=\underline{\hspace{2em}}（用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示）；若 ∣AE→∣=5|\overrightarrow{AE}|=5，AE→⊥CB→\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{CB}，则 AE→⋅CD→=‾\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{CD}=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，对任意 x∈[−2,2]x\in[-2,2]，都有 (2a+b)x2+bx−a−1≤0(2a+b)x^2+bx-a-1\le0，则 2a+b2a+b 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 对边分别为 aa，bb，cc. 已知 asin⁡B=3 bcos⁡Aa\sin B=\sqrt3\,b\cos A，c−2b=1c-2b=1，a=7a=\sqrt7.
(1) 求 AA； (2) 求 cc； (3) 求 sin⁡(A+2B)\sin(A+2B).

2025 · 天津 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 4，EE，FF 分别为 A1D1A_1D_1，C1B1C_1B_1 中点，且 CG=3GC1CG=3GC_1.
(1) 求证：GF⊥GF\perp 平面 FBEFBE； (2) 求平面 FBEFBE 与平面 EBGEBG 的夹角余弦； (3) 求四面体 D−FBED-FBE 的体积.

2025 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，PP 为 x=ax=a 上一点，且直线 PFPF 的斜率为 13\frac13，△PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac32，离心率为 12\frac12.
(1) 求椭圆方程； (2) 过 PP 的直线与椭圆有唯一交点 BB（异于 AA），证明 PFPF 平分 ∠AFB\angle AFB.

2025 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=2a_1=b_1=2，a2=b2+1a_2=b_2+1，a3=b3a_3=b_3.
(1) 求 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项； (2) ∀n∈N∗\forall n\in\mathbf{N}^*，I={0,1}I=\{0,1\}，定义 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣pi∈I,i=1,…,n}T_n=\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n\mid p_i\in I,i=1,\dots,n\}.
(i) 求证：对任意 t∈Tnt\in T_n，有 t<an+1bn+1t<a_{n+1}b_{n+1}； (ii) 求 TnT_n 的所有元素之和.

2025 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ax−(ln⁡x)2f(x)=ax-(\ln x)^2.
(1) 当 a=1a=1 时，求 f(x)f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 当 f(x)f(x) 有三个零点 x1<x2<x3x_1<x_2<x_3 时，
(i) 求 aa 的取值范围； (ii) 证明 (ln⁡x2−ln⁡x1)⋅ln⁡x3<4ee−1(\ln x_2-\ln x_1)\cdot \ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}.

2025 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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