$\displaystyle\lim_{x\to \pi}\frac{(x - \pi)\cos x}{\sqrt{x} - \sqrt{\pi}} =$______.

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 $x$（元）与年产量 $t$（吨）满足函数关系 $x = 2000\sqrt{t}$. 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 $s$ 元（以下称 $s$ 为赔付价格）.

(1) 将乙方的年利润 $w$（元）表示为年产量 $t$（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2) 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 $y = 0.002t^2$（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 $s$ 是多少.

已知函数 $f(x)=ax-\frac{3}{2}x^{2}$ 的最大值不大于 $\frac{1}{6}$，又当 $x \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x) \ge \frac{1}{8}$.

(1) 求 $a$ 的值； (2) 设 $0 < a_1 < \frac{1}{2}$，$a_{n+1} = f(a_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$. 证明 $a_n < \frac{1}{n+1}$.

已知函数 $f(x) = \ln(\mathrm{e}^x + a)$（$a > 0$）.

(1) 求函数 $y = f(x)$ 的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 及 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$； (2) 假设对任意 $x \in [\ln(3a), \ln(4a)]$，不等式 $|m - f^{-1}(x)| + \ln(f'(x)) < 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.