方程 $x^{2} - y^{2} = 0$ 表示的图形是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由平方差公式，$x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0$，所以图形由直线 $y=x$ 与直线 $y=-x$ 组成. 这两条直线相交于原点，故选 A. \end{solution}

(1) 在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程 $y = -\sqrt{x}$，$x = \sqrt{-y}$ 的图形，并写出它们交点的坐标. (2) 在极坐标系内，方程 $\rho = 5\cos \theta$ 表示什么曲线？画出它的图形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对于 $y=-\sqrt{x}$，有 $x\geqslant0$，$y\leqslant0$，平方得 $x=y^{2}$，所以它是抛物线 $x=y^{2}$ 的下半支. 对于 $x=\sqrt{-y}$，有 $x\geqslant0$，$y\leqslant0$，平方得 $y=-x^{2}$，所以它是抛物线 $y=-x^{2}$ 的右半支.

令两式同时成立，则 $y=-\sqrt{x}$，$y=-x^{2}$. 由 $\sqrt{x}=x^{2}$ 且 $x\geqslant0$，令 $u=\sqrt{x}\geqslant0$，则 $u=u^{4}$，即 $u(u^{3}-1)=0$，所以 $u=0$ 或 $u=1$，从而 $x=0$ 或 $x=1$，相应地 $y=0$ 或 $y=-1$. 因此交点为 $(0,0)$ 和 $(1,-1)$. \item 将极坐标关系 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$ 代入，并乘以 $\rho$，得 所以 该曲线是圆心为 $\left(\frac{5}{2},0\right)$、半径为 $\frac{5}{2}$ 的圆，经过 $(0,0)$ 和 $(5,0)$，图形据此作出. \end{enumerate} \end{solution}

如图，已知椭圆长轴 $\left|A_{1}A_{2}\right| = 6$，焦距 $\left|F_{1}F_{2}\right| = 4\sqrt{2}$，过椭圆焦点 $F_{1}$ 作一直线，交椭圆于两点 $M$，$N$. 设 $\angle F_{2}F_{1}M = \alpha$（$0 \leqslant \alpha < \pi$），当 $\alpha$ 取什么值时，$|MN|$ 等于椭圆短轴的长？

\begin{solution} 设椭圆中心为原点，长轴在 $x$ 轴上. 由题意，半长轴 $a=3$，半焦距 $c=2\sqrt{2}$，所以半短轴 椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$，且 $F_{1}=(-2\sqrt{2},0)$. 过 $F_{1}$ 的直线方向向量可取 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$，其参数方程为 $x=-2\sqrt{2}+t\cos\alpha$，$y=t\sin\alpha$. 代入椭圆方程，得到 设两根为 $t_{1}$，$t_{2}$. 因为参数方向向量是单位向量，弦长 $|MN|=|t_{1}-t_{2}|$. 该二次方程的判别式为 所以 椭圆短轴长为 $2b=2$，故 又 $0\leqslant\alpha<\pi$，所以 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ 或 $\alpha=\frac{5\pi}{6}$. \end{solution}